Đại số Ví dụ

$z = x^{y} + \ln (x y)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (z) = \frac{d}{d y} (x^{y} + \ln (x y))$

Bước 2

Đạo hàm của $z$ đối với $y$ là $z'$ .

$z'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{y} + \ln (x y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x^{y}] + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{y}] + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ là $a^{y} \ln (a)$ trong đó $a$ = $x$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d y} [\ln (x y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = \ln (y)$ và $g (y) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x y$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

Bước 3.3.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x y]$

Bước 3.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x y$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} \frac{d}{d y} [x y]$

Bước 3.3.2

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \frac{d}{d y} [y])$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \cdot 1)$

Bước 3.3.4

Nhân $x$ với $1$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} x$

Bước 3.3.5

Kết hợp $\frac{1}{x y}$ và $x$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x}{x y}$

Bước 3.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{y} \ln (x) + \frac{x}{x y}$

Bước 3.3.6.2

Viết lại biểu thức.

$x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$z' = x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y}$

Bước 5

Thay thế $z'$ bằng $\frac{d z}{d y}$ .

$\frac{d z}{d y} = x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y}$