Đại số Ví dụ

$z = x^{y} + \ln (x y)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (x^{y} + \ln (x y))$

Bước 2

Đạo hàm của $z$ đối với $x$ là $z'$ .

$z'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{y} + \ln (x y)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 3.2.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 3.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 3.2.2

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} (y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} (y \cdot 1)$

Bước 3.2.4

Nhân $y$ với $1$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} y$

Bước 3.2.5

Kết hợp $\frac{1}{x y}$ và $y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{y}{x y}$

Bước 3.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y x^{y - 1} + \frac{y}{x y}$

Bước 3.2.6.2

Viết lại biểu thức.

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x}$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Để viết $y x^{y - 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y x^{y - 1} x}{x} + \frac{1}{x}$

Bước 3.3.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{y x^{y - 1} x + 1}{x}$

Bước 3.3.1.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y (x^{1} x^{y - 1}) + 1}{x}$

Bước 3.3.1.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{y x^{1 + y - 1} + 1}{x}$

Bước 3.3.1.5

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{y x^{y + 0} + 1}{x}$

Bước 3.3.1.6

Cộng $y$ và $0$ .

$\frac{y x^{y} + 1}{x}$

Bước 3.3.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{x^{y} y + 1}{x}$

Bước 3.3.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{x^{y} y + 1}{x}$ .

$\frac{y x^{y} + 1}{x}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$z' = \frac{y x^{y} + 1}{x}$

Bước 5

Thay thế $z'$ bằng $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = \frac{y x^{y} + 1}{x}$