Đại số Ví dụ

$y = x {(x - 4)}^{3}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x {(x - 4)}^{3})$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$\frac{d}{d y} [x (x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 4 + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3})]$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$\frac{d}{d y} [x (x^{3} - 12 x^{2} + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3})]$

Bước 3.2.2

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{d}{d y} [x (x^{3} - 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + {(- 4)}^{3})]$

Bước 3.2.3

Nhân $16$ với $3$ .

$\frac{d}{d y} [x (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + {(- 4)}^{3})]$

Bước 3.2.4

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{d}{d y} [x (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64)]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = x$ và $g (y) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ .

$x \frac{d}{d y} [x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64] + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]$ .

$x (\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{3}$ và $g (y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$x (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x$ .

$x (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.6

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$x (3 x^{2} x' + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.7

Vì $- 12$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 12 x^{2}$ đối với $y$ là $- 12 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$x (3 x^{2} x' - 12 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{2}$ và $g (y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x$ .

$x (3 x^{2} x' - 12 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.8.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x (3 x^{2} x' - 12 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.8.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x$ .

$x (3 x^{2} x' - 12 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.9

Nhân $2$ với $- 12$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.10

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.11

Vì $48$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $48 x$ đối với $y$ là $48 \frac{d}{d y} [x]$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.12

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 x' + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.13

Vì $- 64$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- 64$ đối với $y$ là $0$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 x' + 0) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.14

Cộng $3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 x'$ và $0$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 x') + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.15

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 x') + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) x'$

Bước 3.16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (3 x^{2} x') + x (- 24 x x') + x (48 x') + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) x'$

Bước 3.16.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (3 x^{2} x') + x (- 24 x x') + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Bước 3.16.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.3.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$3 (x^{1} x^{2}) x' + x (- 24 x x') + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Bước 3.16.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 x^{1 + 2} x' + x (- 24 x x') + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Bước 3.16.3.3

Cộng $1$ và $2$ .

$3 x^{3} x' + x (- 24 x x') + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Bước 3.16.3.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$3 x^{3} x' - 24 (x^{1} x) x' + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Bước 3.16.3.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$3 x^{3} x' - 24 (x^{1} x^{1}) x' + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Bước 3.16.3.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 x^{3} x' - 24 x^{1 + 1} x' + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Bước 3.16.3.7

Cộng $1$ và $1$ .

$3 x^{3} x' - 24 x^{2} x' + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Bước 3.16.3.8

Cộng $3 x^{3} x'$ và $x^{3} x'$ .

$4 x^{3} x' - 24 x^{2} x' + x (48 x') - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Bước 3.16.3.9

Trừ $12 x^{2} x'$ khỏi $- 24 x^{2} x'$ .

$4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + x (48 x') + 48 x x' - 64 x'$

Bước 3.16.3.10

Cộng $x (48 x')$ và $48 x x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.3.10.1

Sắp xếp lại $x$ và $48$ .

$4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 48 \cdot x x' + 48 x x' - 64 x'$

Bước 3.16.3.10.2

Cộng $48 \cdot x x'$ và $48 x x'$ .

$4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = 4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x'$

Bước 5

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x' = 1$ .

$4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x' = 1$

Bước 5.2

Đưa $4 x'$ ra ngoài $4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $4 x'$ ra ngoài $4 x^{3} x'$ .

$4 x' x^{3} - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x' = 1$

Bước 5.2.2

Đưa $4 x'$ ra ngoài $- 36 x^{2} x'$ .

$4 x' x^{3} + 4 x' (- 9 x^{2}) + 96 x x' - 64 x' = 1$

Bước 5.2.3

Đưa $4 x'$ ra ngoài $96 x x'$ .

$4 x' x^{3} + 4 x' (- 9 x^{2}) + 4 x' (24 x) - 64 x' = 1$

Bước 5.2.4

Đưa $4 x'$ ra ngoài $- 64 x'$ .

$4 x' x^{3} + 4 x' (- 9 x^{2}) + 4 x' (24 x) + 4 x' \cdot - 16 = 1$

Bước 5.2.5

Đưa $4 x'$ ra ngoài $4 x' x^{3} + 4 x' (- 9 x^{2})$ .

$4 x' (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 x' (24 x) + 4 x' \cdot - 16 = 1$

Bước 5.2.6

Đưa $4 x'$ ra ngoài $4 x' (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 x' (24 x)$ .

$4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 x' \cdot - 16 = 1$

Bước 5.2.7

Đưa $4 x'$ ra ngoài $4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 x' \cdot - 16$ .

$4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 1$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 1$ cho $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 1$ cho $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)$ .

$\frac{4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)} = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)} = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$

Bước 5.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16} = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16} = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$

Bước 5.3.2.2.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$

Bước 6

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$