Đại số Ví dụ

$z = x^{y} + \ln (x y)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (z) = \frac{d}{d y} (x^{y} + \ln (x y))$

Bước 2

Vì $z$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $z$ đối với $y$ là $0$ .

$0$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{y} + \ln (x y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x^{y}] + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{y}] + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d y} [x^{y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Lấy đạo hàm bằng cách dùng công thức đạo hàm hàm lũy thừa, công thức phát biểu rằng $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ bằng $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ khi $f = x$ và $g = y$ .

$\frac{d}{d y} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d y} [y] (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Bước 3.2.2

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$x' (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d y} [y] (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + 1 (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Bước 3.2.4

Nhân $x^{y}$ với $1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d y} [\ln (x y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = \ln (y)$ và $g (y) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x y$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

Bước 3.3.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x y]$

Bước 3.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x y$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} \frac{d}{d y} [x y]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = x$ và $g (y) = y$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Bước 3.3.4

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \cdot 1 + y x')$

Bước 3.3.5

Nhân $x$ với $1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x + y x')$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} x + \frac{1}{x y} (y x')$

Bước 3.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Kết hợp $\frac{1}{x y}$ và $x$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{x}{x y} + \frac{1}{x y} (y x')$

Bước 3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{x}{x y} + \frac{1}{x y} (y x')$

Bước 3.4.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{1}{x y} (y x')$

Bước 3.4.2.3

Kết hợp $y$ và $\frac{1}{x y}$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y}{x y} x'$

Bước 3.4.2.4

Kết hợp $\frac{y}{x y}$ và $x'$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y x'}{x y}$

Bước 3.4.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y x'}{x y}$

Bước 3.4.2.5.2

Viết lại biểu thức.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{x'}{x}$

Bước 3.4.2.6

Để viết $x' (y x^{y - 1})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{y}{y}$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (y x^{y - 1}) y}{y} + \frac{1}{y} + \frac{x'}{x}$

Bước 3.4.2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (y x^{y - 1}) y + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Bước 3.4.2.8

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) (y^{1} y) + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Bước 3.4.2.9

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) (y^{1} y^{1}) + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Bước 3.4.2.10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{1 + 1} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Bước 3.4.2.11

Cộng $1$ và $1$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Bước 3.4.2.12

Để viết $x^{y} \ln (x)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{y}{y}$ .

$\frac{x^{y} \ln (x) y}{y} + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Bước 3.4.2.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Bước 3.4.2.14

Để viết $\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x'}{x}$

Bước 3.4.2.15

Để viết $\frac{x'}{x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{y}{y}$ .

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x'}{x} \cdot \frac{y}{y}$

Bước 3.4.2.16

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $y x$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.16.1

Nhân $\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y}$ với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{y x} + \frac{x'}{x} \cdot \frac{y}{y}$

Bước 3.4.2.16.2

Nhân $\frac{x'}{x}$ với $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{y x} + \frac{x' y}{x y}$

Bước 3.4.2.16.3

Sắp xếp lại các thừa số của $y x$ .

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{x y} + \frac{x' y}{x y}$

Bước 3.4.2.17

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x + x' y}{x y}$

Bước 3.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{x (x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) + y x'}{x y}$

Bước 3.4.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (x^{y} \ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Bước 3.4.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1

Nhân $x$ với $x^{y}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1.1

Di chuyển $x^{y}$ .

$\frac{x^{y} x (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Bước 3.4.4.2.1.2

Nhân $x^{y}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x^{y} x^{1} (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Bước 3.4.4.2.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Bước 3.4.4.2.2

Nhân $x$ với $x^{y - 1}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.2.1

Di chuyển $x^{y - 1}$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1} x (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Bước 3.4.4.2.2.2

Nhân $x^{y - 1}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1} x^{1} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Bước 3.4.4.2.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1 + 1} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Bước 3.4.4.2.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $y - 1 + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.2.3.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y + 0} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Bước 3.4.4.2.2.3.2

Cộng $y$ và $0$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Bước 3.4.4.2.3

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x + y x'}{x y}$

Bước 3.4.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x + y x'}{x y}$ .

$\frac{y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'}{x y}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$0 = \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'}{x y}$

Bước 5

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho tử bằng không.

$y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x' = 0$

Bước 5.2

Giải phương trình để tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'$ .

$y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x' x^{y} + x + y x' = 0$

Bước 5.2.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Trừ $y x^{y + 1} \ln (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{2} x' x^{y} + x + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x)$

Bước 5.2.2.2

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{2} x' x^{y} + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

Bước 5.2.3

Đưa $y x'$ ra ngoài $y^{2} x' x^{y} + y x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Đưa $y x'$ ra ngoài $y^{2} x' x^{y}$ .

$y x' (y x^{y}) + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

Bước 5.2.3.2

Đưa $y x'$ ra ngoài $y x'$ .

$y x' (y x^{y}) + y x' \cdot 1 = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

Bước 5.2.3.3

Đưa $y x'$ ra ngoài $y x' (y x^{y}) + y x' \cdot 1$ .

$y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

Bước 5.2.4

Chia mỗi số hạng trong $y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$ cho $y (y x^{y} + 1)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$ cho $y (y x^{y} + 1)$ .

$\frac{y x' (y x^{y} + 1)}{y (y x^{y} + 1)} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Bước 5.2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y x' (y x^{y} + 1)}{y (y x^{y} + 1)} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Bước 5.2.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x' (y x^{y} + 1)}{y x^{y} + 1} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Bước 5.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y x^{y} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x' (y x^{y} + 1)}{y x^{y} + 1} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Bước 5.2.4.2.2.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Bước 5.2.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x' = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x) - x}{y (y x^{y} + 1)}$

Bước 5.2.4.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- y x^{y + 1} \ln (x)$ .

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x)) - x}{y (y x^{y} + 1)}$

Bước 5.2.4.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x)) - (x)}{y (y x^{y} + 1)}$

Bước 5.2.4.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (y x^{y + 1} \ln (x)) - (x)$ .

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x) + x)}{y (y x^{y} + 1)}$

Bước 5.2.4.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.3.5.1

Viết lại $- (y x^{y + 1} \ln (x) + x)$ ở dạng $- 1 (y x^{y + 1} \ln (x) + x)$ .

$x' = \frac{- 1 (y x^{y + 1} \ln (x) + x)}{y (y x^{y} + 1)}$

Bước 5.2.4.3.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x' = - \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + x}{y (y x^{y} + 1)}$

Bước 6

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + x}{y (y x^{y} + 1)}$