Đại số Ví dụ

$\frac{5 x}{x^{2} + 2 x - 8} \geq 3$

Bước 1

Giải $- 4 < x \leq - 3 or 2 < x \leq \frac{8}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $x^{2} + 2 x - 8$ .

$\frac{5 x}{x^{2} + 2 x - 8} (x^{2} + 2 x - 8) = 3 (x^{2} + 2 x - 8)$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + 2 x - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 x}{x^{2} + 2 x - 8} (x^{2} + 2 x - 8) = 3 (x^{2} + 2 x - 8)$

Bước 1.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$5 x = 3 (x^{2} + 2 x - 8)$

Bước 1.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Rút gọn $3 (x^{2} + 2 x - 8)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 x = 3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot - 8$

Bước 1.2.2.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.2.1

Nhân $2$ với $3$ .

$5 x = 3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot - 8$

Bước 1.2.2.1.2.2

Nhân $3$ với $- 8$ .

$5 x = 3 x^{2} + 6 x - 24$

Bước 1.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $x$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$3 x^{2} + 6 x - 24 = 5 x$

Bước 1.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Trừ $5 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 x^{2} + 6 x - 24 - 5 x = 0$

Bước 1.3.2.2

Trừ $5 x$ khỏi $6 x$ .

$3 x^{2} + x - 24 = 0$

Bước 1.3.3

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 3 \cdot - 24 = - 72$ và có tổng là $b = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1.1

Nhân với $1$ .

$3 x^{2} + 1 x - 24 = 0$

Bước 1.3.3.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $- 8$ cộng $9$

$3 x^{2} + (- 8 + 9) x - 24 = 0$

Bước 1.3.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x^{2} - 8 x + 9 x - 24 = 0$

Bước 1.3.3.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$(3 x^{2} - 8 x) + 9 x - 24 = 0$

Bước 1.3.3.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$x (3 x - 8) + 3 (3 x - 8) = 0$

Bước 1.3.3.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $3 x - 8$ .

$(3 x - 8) (x + 3) = 0$

Bước 1.3.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$3 x - 8 = 0$

$x + 3 = 0$

Bước 1.3.5

Đặt $3 x - 8$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Đặt $3 x - 8$ bằng với $0$ .

$3 x - 8 = 0$

Bước 1.3.5.2

Giải $3 x - 8 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.2.1

Cộng $8$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 x = 8$

Bước 1.3.5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $3 x = 8$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = 8$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Bước 1.3.5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Bước 1.3.5.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{8}{3}$

Bước 1.3.6

Đặt $x + 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Đặt $x + 3$ bằng với $0$ .

$x + 3 = 0$

Bước 1.3.6.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 1.3.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(3 x - 8) (x + 3) = 0$ đúng.

$x = \frac{8}{3}, - 3$

Bước 1.4

Tìm tập xác định của $\frac{5 x}{(x - 2) (x + 4)} - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Đặt mẫu số trong $\frac{5 x}{(x - 2) (x + 4)}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$(x - 2) (x + 4) = 0$

Bước 1.4.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Bước 1.4.2.2

Đặt $x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1

Đặt $x - 2$ bằng với $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 1.4.2.2.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 1.4.2.3

Đặt $x + 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.3.1

Đặt $x + 4$ bằng với $0$ .

$x + 4 = 0$

Bước 1.4.2.3.2

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 4$

Bước 1.4.2.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x - 2) (x + 4) = 0$ đúng.

$x = 2, - 4$

Bước 1.4.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 2) \cup (2, \infty)$

Bước 1.5

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$2 < x < \frac{8}{3}$

$x > \frac{8}{3}$

Bước 1.6

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 6$

Bước 1.6.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{5 (- 6)}{{(- 6)}^{2} + 2 (- 6) - 8} \geq 3$

Bước 1.6.1.3

Vế trái $- 1.875$ nhỏ hơn vế phải $3$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 1.6.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 4 < x < - 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 4 < x < - 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 3.5$

Bước 1.6.2.2

Thay thế $x$ bằng $- 3.5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{5 (- 3.5)}{{(- 3.5)}^{2} + 2 (- 3.5) - 8} \geq 3$

Bước 1.6.2.3

Vế trái $6.\overline{36}$ lớn hơn vế phải $3$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 1.6.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 3 < x < 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 3 < x < 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 1.6.3.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{5 (0)}{{(0)}^{2} + 2 (0) - 8} \geq 3$

Bước 1.6.3.3

Vế trái $0$ nhỏ hơn vế phải $3$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 1.6.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $2 < x < \frac{8}{3}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $2 < x < \frac{8}{3}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 2.33$

Bước 1.6.4.2

Thay thế $x$ bằng $2.33$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{5 (2.33)}{{(2.33)}^{2} + 2 (2.33) - 8} \geq 3$

Bước 1.6.4.3

Vế trái $5.57709799$ lớn hơn vế phải $3$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 1.6.5

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > \frac{8}{3}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.5.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > \frac{8}{3}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 5$

Bước 1.6.5.2

Thay thế $x$ bằng $5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{5 (5)}{{(5)}^{2} + 2 (5) - 8} \geq 3$

Bước 1.6.5.3

Vế trái $0.\overline{925}$ nhỏ hơn vế phải $3$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 1.6.6

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 4$ Sai

$- 4 < x < - 3$ Đúng

$- 3 < x < 2$ Sai

$2 < x < \frac{8}{3}$ Đúng

$x > \frac{8}{3}$ Sai

$x < - 4$ Sai

$- 4 < x < - 3$ Đúng

$- 3 < x < 2$ Sai

$2 < x < \frac{8}{3}$ Đúng

$x > \frac{8}{3}$ Sai

Bước 1.7

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$- 4 < x \leq - 3$ hoặc $2 < x \leq \frac{8}{3}$

Bước 2

Sử dụng bất đẳng thức $- 4 < x \leq - 3 or 2 < x \leq \frac{8}{3}$ để thiết lập biểu diễn tập hợp.

${x | - 4 < x \leq - 3 or 2 < x \leq \frac{8}{3}}$

Bước 3