Đại số Ví dụ

$s = \sqrt{4 x^{2} + 6 y^{2}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{4 x^{2} + 6 y^{2}}$ ở dạng ${(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$s = {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (s) = \frac{d}{d x} ({(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 3

Vì $s$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $s$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 4 x^{2} + 6 y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $4 x^{2} + 6 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Bước 4.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $4 x^{2} + 6 y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Bước 4.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Bước 4.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Bước 4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Bước 4.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Bước 4.5.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Bước 4.6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Bước 4.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Bước 4.6.2.2

Di chuyển ${(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Bước 4.6.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{2} + 6 y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

Bước 4.6.4

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

Bước 4.6.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

Bước 4.6.6

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

Bước 4.6.7

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 y^{2}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 6 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Bước 4.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 6 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Bước 4.7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 6 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Bước 4.7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 6 (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Bước 4.8

Nhân $2$ với $6$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 12 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Bước 4.9

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 12 y y')$

Bước 4.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 12 y y')$ .

$(8 x + 12 y y') \frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.10.2

Nhân $8 x + 12 y y'$ với $\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{8 x + 12 y y'}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.10.3

Đưa $2$ ra ngoài $8 x$ .

$\frac{2 (4 x) + 12 y y'}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.10.4

Đưa $2$ ra ngoài $12 y y'$ .

$\frac{2 (4 x) + 2 (6 y y')}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.10.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (4 x) + 2 (6 y y')$ .

$\frac{2 (4 x + 6 y y')}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.10.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (4 x + 6 y y')}{2 ({(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 4.10.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (4 x + 6 y y')}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.10.6.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 x + 6 y y'}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.10.7

Đưa $2$ ra ngoài $4 x + 6 y y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) + 6 y y'}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.10.7.2

Đưa $2$ ra ngoài $6 y y'$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (3 y y')}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.10.7.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2 x) + 2 (3 y y')$ .

$\frac{2 (2 x + 3 y y')}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$0 = \frac{2 (2 x + 3 y y')}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Cho tử bằng không.

$2 (2 x + 3 y y') = 0$

Bước 6.2

Giải phương trình để tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 (2 x + 3 y y') = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Chia mỗi số hạng trong $2 (2 x + 3 y y') = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 (2 x + 3 y y')}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 6.2.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (2 x + 3 y y')}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 6.2.1.2.1.2

Chia $2 x + 3 y y'$ cho $1$ .

$2 x + 3 y y' = \frac{0}{2}$

Bước 6.2.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$2 x + 3 y y' = 0$

Bước 6.2.2

Trừ $2 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 y y' = - 2 x$

Bước 6.2.3

Chia mỗi số hạng trong $3 y y' = - 2 x$ cho $3 y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $3 y y' = - 2 x$ cho $3 y$ .

$\frac{3 y y'}{3 y} = \frac{- 2 x}{3 y}$

Bước 6.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y y'}{3 y} = \frac{- 2 x}{3 y}$

Bước 6.2.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{3 y}$

Bước 6.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{3 y}$

Bước 6.2.3.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{3 y}$

Bước 6.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{2 x}{3 y}$

Bước 7

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{3 y}$