Đại số Ví dụ

$(- 3, 0)$ , $(- 1, 4)$ , $(1, 0)$

Bước 1

Sử dụng dạng chính tắc của phương trình bậc hai $y = a x^{2} + b x + c$ làm điểm bắt đầu để tìm phương trình qua ba điểm.

$y = a x^{2} + b x + c$

Bước 2

Tạo một hệ phương trình bằng cách thay thế các giá trị $x$ và $y$ của mỗi điểm vào công thức tổng quát của một phương trình bậc hai để tạo một hệ gồm ba phương trình.

$0 = a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + c, 4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c, 0 = a {(1)}^{2} + b (1) + c$

Bước 3

Giải hệ phương trình để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Giải tìm $a$ trong $0 = a + b + c$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Viết lại phương trình ở dạng $a + b + c = 0$ .

$a + b + c = 0$

$0 = a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Bước 3.1.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $a$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Trừ $b$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$a + c = - b$

$0 = a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Bước 3.1.2.2

Trừ $c$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$a = - b - c$

$0 = a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$a = - b - c$

$0 = a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$a = - b - c$

$0 = a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Bước 3.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $a$ bằng $- b - c$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $a$ trong $0 = a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + c$ bằng $- b - c$ .

$0 = (- b - c) {(- 3)}^{2} + b (- 3) + c$

$a = - b - c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn $(- b - c) {(- 3)}^{2} + b (- 3) + c$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$0 = (- b - c) \cdot 9 + b (- 3) + c$

$a = - b - c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Bước 3.2.2.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$0 = - b \cdot 9 - c \cdot 9 + b (- 3) + c$

$a = - b - c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Bước 3.2.2.1.1.3

Nhân $9$ với $- 1$ .

$0 = - 9 b - c \cdot 9 + b (- 3) + c$

$a = - b - c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Bước 3.2.2.1.1.4

Nhân $9$ với $- 1$ .

$0 = - 9 b - 9 c + b (- 3) + c$

$a = - b - c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Bước 3.2.2.1.1.5

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $b$ .

$0 = - 9 b - 9 c - 3 b + c$

$a = - b - c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$0 = - 9 b - 9 c - 3 b + c$

$a = - b - c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Bước 3.2.2.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.2.1

Trừ $3 b$ khỏi $- 9 b$ .

$0 = - 12 b - 9 c + c$

$a = - b - c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Bước 3.2.2.1.2.2

Cộng $- 9 c$ và $c$ .

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $a$ trong $4 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$ bằng $- b - c$ .

$4 = (- b - c) {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

Bước 3.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Rút gọn $(- b - c) {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$4 = (- b - c) \cdot 1 + b (- 1) + c$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

Bước 3.2.4.1.1.2

Nhân $- b - c$ với $1$ .

$4 = - b - c + b (- 1) + c$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

Bước 3.2.4.1.1.3

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $b$ .

$4 = - b - c - 1 b + c$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

Bước 3.2.4.1.1.4

Viết lại $- 1 b$ ở dạng $- b$ .

$4 = - b - c - b + c$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$4 = - b - c - b + c$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

Bước 3.2.4.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1.2.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- b - c - b + c$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1.2.1.1

Cộng $- c$ và $c$ .

$4 = - b - b + 0$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

Bước 3.2.4.1.2.1.2

Cộng $- b - b$ và $0$ .

$4 = - b - b$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$4 = - b - b$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

Bước 3.2.4.1.2.2

Trừ $b$ khỏi $- b$ .

$4 = - 2 b$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$4 = - 2 b$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$4 = - 2 b$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$4 = - 2 b$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$4 = - 2 b$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

Bước 3.3

Giải tìm $b$ trong $4 = - 2 b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 2 b = 4$ .

$- 2 b = 4$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

Bước 3.3.2

Chia mỗi số hạng trong $- 2 b = 4$ cho $- 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 b = 4$ cho $- 2$ .

$\frac{- 2 b}{- 2} = \frac{4}{- 2}$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

Bước 3.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 b}{- 2} = \frac{4}{- 2}$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

Bước 3.3.2.2.1.2

Chia $b$ cho $1$ .

$b = \frac{4}{- 2}$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$b = \frac{4}{- 2}$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$b = \frac{4}{- 2}$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

Bước 3.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.3.1

Chia $4$ cho $- 2$ .

$b = - 2$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$b = - 2$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$b = - 2$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

$b = - 2$

$0 = - 12 b - 8 c$

$a = - b - c$

Bước 3.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $b$ bằng $- 2$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $b$ trong $0 = - 12 b - 8 c$ bằng $- 2$ .

$0 = - 12 \cdot - 2 - 8 c$

$b = - 2$

$a = - b - c$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Nhân $- 12$ với $- 2$ .

$0 = 24 - 8 c$

$b = - 2$

$a = - b - c$

$0 = 24 - 8 c$

$b = - 2$

$a = - b - c$

Bước 3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $b$ trong $a = - b - c$ bằng $- 2$ .

$a = - (- 2) - c$

$0 = 24 - 8 c$

$b = - 2$

Bước 3.4.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$a = 2 - c$

$0 = 24 - 8 c$

$b = - 2$

$a = 2 - c$

$0 = 24 - 8 c$

$b = - 2$

$a = 2 - c$

$0 = 24 - 8 c$

$b = - 2$

Bước 3.5

Giải tìm $c$ trong $0 = 24 - 8 c$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $24 - 8 c = 0$ .

$24 - 8 c = 0$

$a = 2 - c$

$b = - 2$

Bước 3.5.2

Trừ $24$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 8 c = - 24$

$a = 2 - c$

$b = - 2$

Bước 3.5.3

Chia mỗi số hạng trong $- 8 c = - 24$ cho $- 8$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- 8 c = - 24$ cho $- 8$ .

$\frac{- 8 c}{- 8} = \frac{- 24}{- 8}$

$a = 2 - c$

$b = - 2$

Bước 3.5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 8 c}{- 8} = \frac{- 24}{- 8}$

$a = 2 - c$

$b = - 2$

Bước 3.5.3.2.1.2

Chia $c$ cho $1$ .

$c = \frac{- 24}{- 8}$

$a = 2 - c$

$b = - 2$

$c = \frac{- 24}{- 8}$

$a = 2 - c$

$b = - 2$

$c = \frac{- 24}{- 8}$

$a = 2 - c$

$b = - 2$

Bước 3.5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.3.1

Chia $- 24$ cho $- 8$ .

$c = 3$

$a = 2 - c$

$b = - 2$

$c = 3$

$a = 2 - c$

$b = - 2$

$c = 3$

$a = 2 - c$

$b = - 2$

$c = 3$

$a = 2 - c$

$b = - 2$

Bước 3.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $c$ bằng $3$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $c$ trong $a = 2 - c$ bằng $3$ .

$a = 2 - (3)$

$c = 3$

$b = - 2$

Bước 3.6.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Rút gọn $2 - (3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$a = 2 - 3$

$c = 3$

$b = - 2$

Bước 3.6.2.1.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$a = - 1$

$c = 3$

$b = - 2$

$a = - 1$

$c = 3$

$b = - 2$

$a = - 1$

$c = 3$

$b = - 2$

$a = - 1$

$c = 3$

$b = - 2$

Bước 3.7

Liệt kê tất cả các đáp án.

$a = - 1, c = 3, b = - 2$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế của $a$ , $b$ và $c$ vào công thức cho một phương trình bậc hai để tìm phương trình kết quả.

$y = - x^{2} - 2 x + 3$

Bước 5