Đại số Ví dụ

$x^{3} = - i$

Bước 1

Thay $u$ bằng $x^{3}$ .

$u^{3} = - i$

Bước 2

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 3

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế của $a = 0$ và $b = - 1$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2}}$

Bước 5

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Bước 5.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$| z | = 1$

Bước 6

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{- 1}{0})$

Bước 7

Vì đối số không xác định và $b$ âm, nên góc của điểm trên mặt phẳng phức là $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Bước 8

Thay các giá trị của $θ = \frac{3 π}{2}$ và $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 9

Thay thế vế phải của phương trình bằng dạng lượng giác.

$u^{3} = \cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 10

Sử dụng định lý De Moivre để tìm một phương trình cho $u$ .

$r^{3} (c o s (3 θ) + i s i n (3 θ)) = - i = \cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 11

Đặt mô-đun của dạng lượng giác bằng $r^{3}$ để tìm giá trị của $r$ .

$r^{3} = 1$

Bước 12

Giải phương trình để tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$r^{3} - 1 = 0$

Bước 12.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$r^{3} - 1^{3} = 0$

Bước 12.2.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = r$ và $b = 1$ .

$(r - 1) (r^{2} + r \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Bước 12.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.1

Nhân $r$ với $1$ .

$(r - 1) (r^{2} + r + 1^{2}) = 0$

Bước 12.2.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(r - 1) (r^{2} + r + 1) = 0$

Bước 12.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$r - 1 = 0$

$r^{2} + r + 1 = 0$

Bước 12.4

Đặt $r - 1$ bằng $0$ và giải tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Đặt $r - 1$ bằng với $0$ .

$r - 1 = 0$

Bước 12.4.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$r = 1$

Bước 12.5

Đặt $r^{2} + r + 1$ bằng $0$ và giải tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Đặt $r^{2} + r + 1$ bằng với $0$ .

$r^{2} + r + 1 = 0$

Bước 12.5.2

Giải $r^{2} + r + 1 = 0$ để tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 12.5.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 1$ , và $c = 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $r$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Bước 12.5.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.2.3.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 12.5.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 12.5.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 12.5.2.3.1.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 12.5.2.3.1.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 12.5.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (3)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 12.5.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 12.5.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Bước 12.5.2.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.2.4.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 12.5.2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 12.5.2.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 12.5.2.4.1.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 12.5.2.4.1.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 12.5.2.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (3)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 12.5.2.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 12.5.2.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Bước 12.5.2.4.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$r = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 12.5.2.4.4

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 12.5.2.4.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $i \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Bước 12.5.2.4.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$r = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Bước 12.5.2.4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$r = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Bước 12.5.2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.2.5.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 12.5.2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 12.5.2.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 12.5.2.5.1.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 12.5.2.5.1.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 12.5.2.5.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (3)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 12.5.2.5.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 12.5.2.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Bước 12.5.2.5.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$r = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Bước 12.5.2.5.4

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Bước 12.5.2.5.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- i \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Bước 12.5.2.5.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$r = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Bước 12.5.2.5.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$r = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 12.5.2.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$r = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 12.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(r - 1) (r^{2} + r + 1) = 0$ đúng.

$r = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 13

Tìm giá trị xấp xỉ của $r$ .

$r = 1$

Bước 14

Tìm các giá trị có thể có của $θ$ .

$c o s (3 θ) = c o s (2 π n)$ và $s i n (3 θ) = s i n (2 π n)$

Bước 15

Tìm tất cả các giá trị khả thi của $θ$ để có được phương trình $3 θ = 2 π n$ .

$3 θ = 2 π n$

Bước 16

Tìm $θ$ cho $r = 0$ .

$3 θ = 2 π (0)$

Bước 17

Giải phương trình để tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Nhân $2 π \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1

Nhân $0$ với $2$ .

$3 θ = 0 π$

Bước 17.1.2

Nhân $0$ với $π$ .

$3 θ = 0$

Bước 17.2

Chia mỗi số hạng trong $3 θ = 0$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 θ = 0$ cho $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

Bước 17.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

Bước 17.2.2.1.2

Chia $θ$ cho $1$ .

$θ = \frac{0}{3}$

Bước 17.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.3.1

Chia $0$ cho $3$ .

$θ = 0$

Bước 18

Sử dụng các giá trị của $θ$ và $r$ để tìm một đáp án cho phương trình $u^{3} = - i$ .

$u_{0} = 1 (\cos (0) + i \sin (0))$

Bước 19

Quy đổi đáp án sang dạng vuông góc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Nhân $\cos (0) + i \sin (0)$ với $1$ .

$u_{0} = \cos (0) + i \sin (0)$

Bước 19.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{0} = 1 + i \sin (0)$

Bước 19.2.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$u_{0} = 1 + i \cdot 0$

Bước 19.2.3

Nhân $i$ với $0$ .

$u_{0} = 1 + 0$

Bước 19.3

Cộng $1$ và $0$ .

$u_{0} = 1$

Bước 20

Thay $x^{3}$ cho $u$ để tính giá trị của $z$ sau khi chuyển sang vế phải.

$z_{0} = 0 + 1$

Bước 21

Tìm $θ$ cho $r = 1$ .

$3 θ = 2 π (1)$

Bước 22

Giải phương trình để tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Nhân $2$ với $1$ .

$3 θ = 2 π$

Bước 22.2

Chia mỗi số hạng trong $3 θ = 2 π$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 θ = 2 π$ cho $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{2 π}{3}$

Bước 22.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{2 π}{3}$

Bước 22.2.2.1.2

Chia $θ$ cho $1$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Bước 23

Sử dụng các giá trị của $θ$ và $r$ để tìm một đáp án cho phương trình $u^{3} = - i$ .

$u_{1} = 1 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Bước 24

Quy đổi đáp án sang dạng vuông góc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1

Nhân $\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$ với $1$ .

$u_{1} = \cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 24.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$u_{1} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 24.2.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 24.2.3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})$

Bước 24.2.4

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 24.2.5

Kết hợp $i$ và $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Bước 25

Thay $x^{3}$ cho $u$ để tính giá trị của $z$ sau khi chuyển sang vế phải.

$z_{1} = 0 - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Bước 26

Tìm $θ$ cho $r = 2$ .

$3 θ = 2 π (2)$

Bước 27

Giải phương trình để tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.1

Nhân $2$ với $2$ .

$3 θ = 4 π$

Bước 27.2

Chia mỗi số hạng trong $3 θ = 4 π$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 θ = 4 π$ cho $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{4 π}{3}$

Bước 27.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{4 π}{3}$

Bước 27.2.2.1.2

Chia $θ$ cho $1$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Bước 28

Sử dụng các giá trị của $θ$ và $r$ để tìm một đáp án cho phương trình $u^{3} = - i$ .

$u_{2} = 1 (\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3}))$

Bước 29

Quy đổi đáp án sang dạng vuông góc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.1

Nhân $\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$ với $1$ .

$u_{2} = \cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Bước 29.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.2.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ ba.

$u_{2} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Bước 29.2.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Bước 29.2.3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ ba.

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3}))$

Bước 29.2.4

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 29.2.5

Kết hợp $i$ và $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Bước 30

Thay $x^{3}$ cho $u$ để tính giá trị của $z$ sau khi chuyển sang vế phải.

$z_{2} = 0 - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Bước 31

Đây là những đáp án số phức cho $u^{3} = - i$ .

$z_{0} = 1$

$z_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$