Đại số Ví dụ

$f (t) = 15 t e^{- \frac{1}{3} t}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Kết hợp $t$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d t} [15 t e^{- \frac{t}{3}}]$

Bước 1.2

Vì $15$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $15 t e^{- \frac{t}{3}}$ đối với $t$ là $15 \frac{d}{d t} [t e^{- \frac{t}{3}}]$ .

$15 \frac{d}{d t} [t e^{- \frac{t}{3}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = t$ và $g (t) = e^{- \frac{t}{3}}$ .

$15 (t \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{3}}] + e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = - \frac{t}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- \frac{t}{3}$ .

$15 (t (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- \frac{t}{3}]) + e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$15 (t (e^{u} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{3}]) + e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- \frac{t}{3}$ .

$15 (t (e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{3}]) + e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $- \frac{1}{3}$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- \frac{t}{3}$ đối với $t$ là $- \frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$ .

$15 (t (e^{- \frac{t}{3}} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t])) + e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Kết hợp $e^{- \frac{t}{3}}$ và $\frac{1}{3}$ .

$15 (t (- \frac{e^{- \frac{t}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [t]) + e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 4.2.2

Kết hợp $t$ và $\frac{e^{- \frac{t}{3}}}{3}$ .

$15 (- \frac{t e^{- \frac{t}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [t] + e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$15 (- \frac{t e^{- \frac{t}{3}}}{3} \cdot 1 + e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 4.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$15 (- \frac{t e^{- \frac{t}{3}}}{3} + e^{- \frac{t}{3}} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$15 (- \frac{t e^{- \frac{t}{3}}}{3} + e^{- \frac{t}{3}} \cdot 1)$

Bước 4.6

Nhân $e^{- \frac{t}{3}}$ với $1$ .

$15 (- \frac{t e^{- \frac{t}{3}}}{3} + e^{- \frac{t}{3}})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$15 (- \frac{t e^{- \frac{t}{3}}}{3}) + 15 e^{- \frac{t}{3}}$

Bước 5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $- 1$ với $15$ .

$- 15 \frac{t e^{- \frac{t}{3}}}{3} + 15 e^{- \frac{t}{3}}$

Bước 5.2.2

Kết hợp $- 15$ và $\frac{t e^{- \frac{t}{3}}}{3}$ .

$\frac{- 15 (t e^{- \frac{t}{3}})}{3} + 15 e^{- \frac{t}{3}}$

Bước 5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 15$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 15 t e^{- \frac{t}{3}}$ .

$\frac{3 (- 5 t e^{- \frac{t}{3}})}{3} + 15 e^{- \frac{t}{3}}$

Bước 5.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 (- 5 t e^{- \frac{t}{3}})}{3 (1)} + 15 e^{- \frac{t}{3}}$

Bước 5.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (- 5 t e^{- \frac{t}{3}})}{3 \cdot 1} + 15 e^{- \frac{t}{3}}$

Bước 5.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 5 t e^{- \frac{t}{3}}}{1} + 15 e^{- \frac{t}{3}}$

Bước 5.2.3.2.4

Chia $- 5 t e^{- \frac{t}{3}}$ cho $1$ .

$- 5 t e^{- \frac{t}{3}} + 15 e^{- \frac{t}{3}}$

Bước 5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 5 e^{- \frac{t}{3}} t + 15 e^{- \frac{t}{3}}$

Bước 5.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 5 e^{- \frac{t}{3}} t + 15 e^{- \frac{t}{3}}$ .

$- 5 t e^{- \frac{t}{3}} + 15 e^{- \frac{t}{3}}$