Đại số Ví dụ

$x^{2} - 9 y^{3} = \ln (y)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 9 y^{3}) = \frac{d}{d x} (\ln (y))$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 9 y^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y^{3}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 9 y^{3}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 9 y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 9 y^{3}$ đối với $x$ là $- 9 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 x - 9 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$2 x - 9 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$2 x - 9 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$2 x - 9 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 x - 9 (3 y^{2} y')$

Bước 2.2.4

Nhân $3$ với $- 9$ .

$2 x - 27 y^{2} y'$

Bước 2.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 27 y^{2} y' + 2 x$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Bước 3.3

Kết hợp $\frac{1}{y}$ và $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- 27 y^{2} y' + 2 x = \frac{y'}{y}$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân cả hai vế với $y$ .

$(- 27 y^{2} y' + 2 x) y = \frac{y'}{y} y$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Rút gọn $(- 27 y^{2} y' + 2 x) y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 27 y^{2} y' y + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Bước 5.2.1.1.2

Nhân $y^{2}$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.2.1

Di chuyển $y$ .

$- 27 (y \cdot y^{2}) y' + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Bước 5.2.1.1.2.2

Nhân $y$ với $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.2.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$- 27 (y^{1} y^{2}) y' + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Bước 5.2.1.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 27 y^{1 + 2} y' + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Bước 5.2.1.1.2.3

Cộng $1$ và $2$ .

$- 27 y^{3} y' + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Bước 5.2.1.1.3

Di chuyển $y^{3}$ .

$- 27 y' y^{3} + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 27 y' y^{3} + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Bước 5.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$- 27 y' y^{3} + 2 x y = y'$

Bước 5.3

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Trừ $y'$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 27 y' y^{3} + 2 x y - y' = 0$

Bước 5.3.2

Trừ $2 x y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 27 y' y^{3} - y' = - 2 x y$

Bước 5.3.3

Đưa $y'$ ra ngoài $- 27 y' y^{3} - y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Đưa $y'$ ra ngoài $- 27 y' y^{3}$ .

$y' (- 27 y^{3}) - y' = - 2 x y$

Bước 5.3.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- y'$ .

$y' (- 27 y^{3}) + y' \cdot - 1 = - 2 x y$

Bước 5.3.3.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (- 27 y^{3}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 27 y^{3} - 1) = - 2 x y$

Bước 5.3.4

Viết lại $- 27 y^{3}$ ở dạng ${(- 3 y)}^{3}$ .

$y' ({(- 3 y)}^{3} - 1) = - 2 x y$

Bước 5.3.5

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$y' ({(- 3 y)}^{3} - 1^{3}) = - 2 x y$

Bước 5.3.6

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = - 3 y$ và $b = 1$ .

$y' ((- 3 y - 1) ({(- 3 y)}^{2} - 3 y \cdot 1 + 1^{2})) = - 2 x y$

Bước 5.3.7

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.7.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 3 y$ .

$y' ((- 3 y - 1) ({(- 3)}^{2} y^{2} - 3 y \cdot 1 + 1^{2})) = - 2 x y$

Bước 5.3.7.1.2

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$y' ((- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y \cdot 1 + 1^{2})) = - 2 x y$

Bước 5.3.7.1.3

Nhân $- 3$ với $1$ .

$y' ((- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1^{2})) = - 2 x y$

Bước 5.3.7.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y' ((- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)) = - 2 x y$

Bước 5.3.7.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1) = - 2 x y$

Bước 5.3.8

Chia mỗi số hạng trong $y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1) = - 2 x y$ cho $(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.8.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1) = - 2 x y$ cho $(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)$ .

$\frac{y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)} = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Bước 5.3.8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 3 y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)} = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Bước 5.3.8.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (9 y^{2} - 3 y + 1)}{9 y^{2} - 3 y + 1} = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Bước 5.3.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $9 y^{2} - 3 y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.8.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (9 y^{2} - 3 y + 1)}{9 y^{2} - 3 y + 1} = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Bước 5.3.8.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Bước 5.3.8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.8.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Bước 5.3.8.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 y$ .

$y' = - \frac{2 x y}{(- (3 y) - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Bước 5.3.8.3.3

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$y' = - \frac{2 x y}{(- (3 y) - 1 (1)) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Bước 5.3.8.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (3 y) - 1 (1)$ .

$y' = - \frac{2 x y}{- (3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Bước 5.3.8.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.8.3.5.1

Viết lại $- (3 y + 1)$ ở dạng $- 1 (3 y + 1)$ .

$y' = - \frac{2 x y}{- 1 (3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Bước 5.3.8.3.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - - \frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Bước 5.3.8.3.5.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y' = 1 \frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Bước 5.3.8.3.5.4

Nhân $\frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$ với $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$