Đại số Ví dụ

$y = \tan^{-1} (\sqrt{x})$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \tan^{-1} (x^{\frac{1}{2}})$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\tan^{-1} (x^{\frac{1}{2}}))$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = \tan^{-1} (y)$ và $g (y) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan^{-1} (u_{1})] \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\tan^{-1} (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{1 + x^{1}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.3

Rút gọn.

$\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ và $g (y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x])$

Bước 4.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

Bước 4.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

Bước 4.5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Bước 4.6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Bước 4.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Bước 4.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Bước 4.8.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Bước 4.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Bước 4.10

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x])$

Bước 4.11

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x])$

Bước 4.12

Nhân $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} \frac{d}{d y} [x]$

Bước 4.13

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} x'$

Bước 4.14

Kết hợp $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$ và $x'$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$

Bước 6

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} = 1$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} = 1$

Bước 6.2

Nhân cả hai vế với $2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Rút gọn $\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Bước 6.3.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ .

$2 \frac{x'}{2 (x^{\frac{1}{2}} (1 + x))} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Bước 6.3.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{x'}{2 (x^{\frac{1}{2}} (1 + x))} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Bước 6.3.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x'}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Bước 6.3.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x'}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Bước 6.3.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$x' = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Rút gọn $1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Nhân $2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ với $1$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$

Bước 6.3.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} x$

Bước 6.3.2.1.3

Nhân $2$ với $1$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} x$

Bước 6.3.2.1.4

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.4.1

Di chuyển $x$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3.2.1.4.2

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3.2.1.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{1 + \frac{1}{2}}$

Bước 6.3.2.1.4.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Bước 6.3.2.1.4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{2 + 1}{2}}$

Bước 6.3.2.1.4.5

Cộng $2$ và $1$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 7

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}$