Đại số Ví dụ

$- 2 \ln (x + 1)$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = - 2 \ln (y + 1)$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 2 \ln (y + 1) = x$ .

$- 2 \ln (y + 1) = x$

Bước 2.2

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \ln (y + 1) = x$ cho $- 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \ln (y + 1) = x$ cho $- 2$ .

$\frac{- 2 \ln (y + 1)}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Bước 2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 \ln (y + 1)}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Bước 2.2.2.1.2

Chia $\ln (y + 1)$ cho $1$ .

$\ln (y + 1) = \frac{x}{- 2}$

Bước 2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\ln (y + 1) = - \frac{x}{2}$

Bước 2.3

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (y + 1)} = e^{- \frac{x}{2}}$

Bước 2.4

Viết lại $\ln (y + 1) = - \frac{x}{2}$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x}{2}} = y + 1$

Bước 2.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $y + 1 = e^{- \frac{x}{2}}$ .

$y + 1 = e^{- \frac{x}{2}}$

Bước 2.5.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = e^{- \frac{x}{2}} - 1$

Bước 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{- \frac{x}{2}} - 1$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = e^{- \frac{x}{2}} - 1$ có là hàm ngược của $f (x) = - 2 \ln (x + 1)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{- \frac{- 2 \ln (x + 1)}{2}} - 1$

Bước 4.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \ln (x + 1)$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{- \frac{2 (- \ln (x + 1))}{2}} - 1$

Bước 4.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{- \frac{2 (- \ln (x + 1))}{2 (1)}} - 1$

Bước 4.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{- \frac{2 (- \ln (x + 1))}{2 \cdot 1}} - 1$

Bước 4.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{- \frac{- \ln (x + 1)}{1}} - 1$

Bước 4.2.3.1.2.4

Chia $- \ln (x + 1)$ cho $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{\ln (x + 1)} - 1$

Bước 4.2.3.2

Nhân $- - \ln (x + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{1 \ln (x + 1)} - 1$

Bước 4.2.3.2.2

Nhân $\ln (x + 1)$ với $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{\ln (x + 1)} - 1$

Bước 4.2.3.3

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = x + 1 - 1$

Bước 4.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 1 - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = x + 0$

Bước 4.2.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = x$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (e^{- \frac{x}{2}} - 1)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 \ln ((e^{- \frac{x}{2}} - 1) + 1)$

Bước 4.3.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $(e^{- \frac{x}{2}} - 1) + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 \ln (e^{- \frac{x}{2}} + 0)$

Bước 4.3.3.2

Cộng $e^{- \frac{x}{2}}$ và $0$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 \ln (e^{- \frac{x}{2}})$

Bước 4.3.4

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $- \frac{x}{2}$ ra khỏi số mũ.

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 (- \frac{x}{2} \cdot \ln (e))$

Bước 4.3.5

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 (- \frac{x}{2} \cdot 1)$

Bước 4.3.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 (- \frac{x}{2})$

Bước 4.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{x}{2}$ vào tử số.

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 \frac{- x}{2}$

Bước 4.3.7.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = 2 (- 1) (\frac{- x}{2})$

Bước 4.3.7.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = 2 \cdot (- 1 \frac{- x}{2})$

Bước 4.3.7.4

Viết lại biểu thức.

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 1 (- x)$

Bước 4.3.8

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.8.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = 1 x$

Bước 4.3.8.2

Nhân $x$ với $1$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = e^{- \frac{x}{2}} - 1$ là hàm ngược của $f (x) = - 2 \ln (x + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{- \frac{x}{2}} - 1$