Đại số Ví dụ

$f (x) = \frac{64}{\sqrt[3]{5 x^{2} + 7 x + 8}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{5 x^{2} + 7 x + 8}$ ở dạng ${(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{64}{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}]$

Bước 1.2

Vì $64$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{64}{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ đối với $x$ là $64 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}]$

Bước 1.3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Viết lại $\frac{1}{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ ở dạng ${({(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$64 \frac{d}{d x} [{({(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Bước 1.3.2

Nhân các số mũ trong ${({(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Bước 1.3.2.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 1$ .

$64 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Bước 1.3.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$64 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{1}{3}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ và $g (x) = 5 x^{2} + 7 x + 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $5 x^{2} + 7 x + 8$ .

$64 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{1}{3}$ .

$64 (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 x^{2} + 7 x + 8$ .

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Bước 6.2

Trừ $3$ khỏi $- 1$ .

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Bước 7.2

Kết hợp ${(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{4}{3}}$ và $\frac{1}{3}$ .

$64 (- \frac{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Bước 7.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Di chuyển ${(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{4}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$64 (- \frac{1}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Bước 7.3.2

Nhân $- 1$ với $64$ .

$- 64 (\frac{1}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Bước 7.4

Kết hợp $\frac{1}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$ và $- 64$ .

$\frac{- 64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8]$

Bước 7.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8]$

Bước 8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x^{2} + 7 x + 8$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Bước 9

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{2}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Bước 10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Bước 11

Nhân $2$ với $5$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Bước 12

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Bước 13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

Bước 14

Nhân $7$ với $1$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7 + \frac{d}{d x} [8])$

Bước 15

Vì $8$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $8$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7 + 0)$

Bước 16

Cộng $10 x + 7$ và $0$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7)$

Bước 17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Sắp xếp lại các thừa số của $- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7)$ .

$- (10 x + 7) \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 17.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(- (10 x) - 1 \cdot 7) \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 17.3

Nhân $10$ với $- 1$ .

$(- 10 x - 1 \cdot 7) \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 17.4

Nhân $- 1$ với $7$ .

$(- 10 x - 7) \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 17.5

Nhân $- 10 x - 7$ với $\frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{(- 10 x - 7) \cdot 64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 17.6

Di chuyển $64$ sang phía bên trái của $- 10 x - 7$ .

$\frac{64 \cdot (- 10 x - 7)}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 17.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 10 x$ .

$\frac{64 (- (10 x) - 7)}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 17.8

Viết lại $- 7$ ở dạng $- 1 (7)$ .

$\frac{64 (- (10 x) - 1 (7))}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 17.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (10 x) - 1 (7)$ .

$\frac{64 (- (10 x + 7))}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 17.10

Viết lại $- (10 x + 7)$ ở dạng $- 1 (10 x + 7)$ .

$\frac{64 (- 1 (10 x + 7))}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 17.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{64 (10 x + 7)}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$