Đại số Ví dụ

$\frac{5}{2 x - 1} < x - 2$

Bước 1

Giải $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} or x > 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chuyển tất cả các biểu thức sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$\frac{5}{2 x - 1} - x < - 2$

Bước 1.1.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của bất đẳng thức.

$\frac{5}{2 x - 1} - x + 2 < 0$

Bước 1.2

Rút gọn $\frac{5}{2 x - 1} - x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để viết $- x$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{5}{2 x - 1} - x \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} + 2 < 0$

Bước 1.2.2

Kết hợp $- x$ và $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{5}{2 x - 1} + \frac{- x (2 x - 1)}{2 x - 1} + 2 < 0$

Bước 1.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{5 - x (2 x - 1)}{2 x - 1} + 2 < 0$

Bước 1.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5 - x (2 x) - x \cdot - 1}{2 x - 1} + 2 < 0$

Bước 1.2.4.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{5 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{2 x - 1} + 2 < 0$

Bước 1.2.4.3

Nhân $- x \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 2 x \cdot x + 1 x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Bước 1.2.4.3.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 2 x \cdot x + x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Bước 1.2.4.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.4.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.4.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) + x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Bước 1.2.4.4.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 2 x^{2} + x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Bước 1.2.4.4.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{5 - 2 x^{2} + x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Bước 1.2.4.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5}{2 x - 1} + 2 < 0$

Bước 1.2.5

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5}{2 x - 1} + \frac{2 (2 x - 1)}{2 x - 1} < 0$

Bước 1.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5 + 2 (2 x - 1)}{2 x - 1} < 0$

Bước 1.2.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 1}{2 x - 1} < 0$

Bước 1.2.7.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5 + 4 x + 2 \cdot - 1}{2 x - 1} < 0$

Bước 1.2.7.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5 + 4 x - 2}{2 x - 1} < 0$

Bước 1.2.7.4

Cộng $x$ và $4 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 5 x + 5 - 2}{2 x - 1} < 0$

Bước 1.2.7.5

Trừ $2$ khỏi $5$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 5 x + 3}{2 x - 1} < 0$

Bước 1.2.7.6

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.6.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = - 2 \cdot 3 = - 6$ và có tổng là $b = 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.6.1.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 5 (x) + 3}{2 x - 1} < 0$

Bước 1.2.7.6.1.2

Viết lại $5$ ở dạng $- 1$ cộng $6$

$\frac{- 2 x^{2} + (- 1 + 6) x + 3}{2 x - 1} < 0$

Bước 1.2.7.6.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 2 x^{2} - 1 x + 6 x + 3}{2 x - 1} < 0$

Bước 1.2.7.6.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.6.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{(- 2 x^{2} - 1 x) + 6 x + 3}{2 x - 1} < 0$

Bước 1.2.7.6.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{x (- 2 x - 1) - 3 (- 2 x - 1)}{2 x - 1} < 0$

Bước 1.2.7.6.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- 2 x - 1$ .

$\frac{(- 2 x - 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Bước 1.2.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{(- (2 x) - 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Bước 1.2.9

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (2 x) - 1 (1)) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Bước 1.2.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Bước 1.2.11

Viết lại $- (2 x + 1)$ ở dạng $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Bước 1.2.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{(2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Bước 1.3

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$2 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Bước 1.4

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x = - 1$

Bước 1.5

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - 1$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 1.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 1.5.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Bước 1.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{1}{2}$

Bước 1.6

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 1.7

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x = 1$

Bước 1.8

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 1.8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 1.8.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Bước 1.9

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = - \frac{1}{2}$

$x = 3$

$x = \frac{1}{2}$

Bước 1.10

Hợp nhất các đáp án.

$x = - \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{2}$

Bước 1.11

Tìm tập xác định của $- \frac{(2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.11.1

Đặt mẫu số trong $\frac{(2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$2 x - 1 = 0$

Bước 1.11.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.11.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x = 1$

Bước 1.11.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.11.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 1.11.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.11.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.11.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 1.11.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Bước 1.11.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Bước 1.12

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 3$

$x > 3$

Bước 1.13

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.13.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - \frac{1}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.13.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - \frac{1}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 3$

Bước 1.13.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 3$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{5}{2 (- 3) - 1} < (- 3) - 2$

Bước 1.13.1.3

Vế trái $- 0.\overline{714285}$ không nhỏ hơn vế phải $- 5$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 1.13.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.13.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 1.13.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{5}{2 (0) - 1} < (0) - 2$

Bước 1.13.2.3

Vế trái $- 5$ nhỏ hơn vế phải $- 2$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 1.13.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{1}{2} < x < 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.13.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{1}{2} < x < 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 2$

Bước 1.13.3.2

Thay thế $x$ bằng $2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{5}{2 (2) - 1} < (2) - 2$

Bước 1.13.3.3

Vế trái $1.\overline{6}$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 1.13.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.13.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 6$

Bước 1.13.4.2

Thay thế $x$ bằng $6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{5}{2 (6) - 1} < (6) - 2$

Bước 1.13.4.3

Vế trái $0.\overline{45}$ nhỏ hơn vế phải $4$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 1.13.5

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - \frac{1}{2}$ Sai

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ Đúng

$\frac{1}{2} < x < 3$ Sai

$x > 3$ Đúng

$x < - \frac{1}{2}$ Sai

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ Đúng

$\frac{1}{2} < x < 3$ Sai

$x > 3$ Đúng

Bước 1.14

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ hoặc $x > 3$

Bước 2

Sử dụng bất đẳng thức $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} or x > 3$ để thiết lập biểu diễn tập hợp.

${x | - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} or x > 3}$

Bước 3