Đại số Ví dụ

$y = \cos^{-1} (8 x^{5})$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\cos^{-1} (8 x^{5}))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos^{-1} (x)$ và $g (x) = 8 x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $8 x^{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [8 x^{5}]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\cos^{-1} (u)$ đối với $u$ là $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{5}]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $8 x^{5}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(8 x^{5})}^{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{5}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $8$ ra ngoài $8 x^{5}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(8 (x^{5}))}^{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{5}]$

Bước 3.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $8 (x^{5})$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (8^{2} {(x^{5})}^{2})}} \frac{d}{d x} [8 x^{5}]$

Bước 3.2.2.2

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (64 {(x^{5})}^{2})}} \frac{d}{d x} [8 x^{5}]$

Bước 3.2.2.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (64 x^{5 \cdot 2})}} \frac{d}{d x} [8 x^{5}]$

Bước 3.2.2.3.2

Nhân $5$ với $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (64 x^{10})}} \frac{d}{d x} [8 x^{5}]$

Bước 3.2.2.4

Nhân $64$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} \frac{d}{d x} [8 x^{5}]$

Bước 3.2.3

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x^{5}$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} (8 \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 3.2.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Nhân $8$ với $- 1$ .

$- 8 \frac{1}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Bước 3.2.4.2

Kết hợp $- 8$ và $\frac{1}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$ .

$\frac{- 8}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Bước 3.2.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{8}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Bước 3.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$- \frac{8}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} (5 x^{4})$

Bước 3.2.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Nhân $5$ với $- 1$ .

$- 5 \frac{8}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} x^{4}$

Bước 3.2.6.2

Kết hợp $- 5$ và $\frac{8}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} x^{4}$

Bước 3.2.6.3

Nhân $- 5$ với $8$ .

$\frac{- 40}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} x^{4}$

Bước 3.2.6.4

Kết hợp $\frac{- 40}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$ và $x^{4}$ .

$\frac{- 40 x^{4}}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$

Bước 3.2.6.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{40 x^{4}}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = - \frac{40 x^{4}}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{40 x^{4}}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$