Đại số Ví dụ

$f (x) = x^{2} - 2 x$ , $x \leq 1$

Bước 1

Tìm khoảng biến thiên của hàm số đã cho.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

$[- 1, \infty)$

Bước 1.2

Quy đổi $[- 1, \infty)$ thành một bất đẳng thức.

$y \geq - 1$

Bước 2

Tìm nghịch đảo.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = y^{2} - 2 y$

Bước 2.2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại phương trình ở dạng $y^{2} - 2 y = x$ .

$y^{2} - 2 y = x$

Bước 2.2.2

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{2} - 2 y - x = 0$

Bước 2.2.3

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.2.4

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 2$ , và $c = - x$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.5.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 + 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.5.1.3.2

Đưa $4$ ra ngoài $4 \cdot 1 + 4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.5.1.4

Viết lại $4 (1 + x)$ ở dạng $2^{2} (1^{2} + x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1.4.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.5.1.4.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.5.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.5.1.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Bước 2.2.5.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Bước 2.2.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.6.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.6.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.6.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 + 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.6.1.3.2

Đưa $4$ ra ngoài $4 \cdot 1 + 4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.6.1.4

Viết lại $4 (1 + x)$ ở dạng $2^{2} (1^{2} + x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1.4.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.6.1.4.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.6.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.6.1.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.6.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Bước 2.2.6.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Bước 2.2.6.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

Bước 2.2.7

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.7.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.7.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.7.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 + 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.7.1.3.2

Đưa $4$ ra ngoài $4 \cdot 1 + 4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.7.1.4

Viết lại $4 (1 + x)$ ở dạng $2^{2} (1^{2} + x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1.4.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.7.1.4.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.7.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.7.1.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.7.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Bước 2.2.7.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Bước 2.2.7.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$y = 1 - \sqrt{1 + x}$

Bước 2.2.8

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x}$

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x}$

Bước 2.3

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$

Bước 3

Tìm hàm nghịch đảo bằng cách sử dụng tập xác định và khoảng biến thiên của hàm số ban đầu.

$f^{- 1} (x) = 1 - \sqrt{1 + x}, x \geq - 1$

Bước 4