Đại số Ví dụ

$f (x) = | x - a | - b$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $| x - a | - b$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [| x - a |] + \frac{d}{d x} [- b]$ .

$\frac{d}{d x} [| x - a |] + \frac{d}{d x} [- b]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [| x - a |]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = | x |$ và $g (x) = x - a$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - a$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Bước 1.2.1.2

Đạo hàm của $| u |$ đối với $u$ là $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Bước 1.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - a$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Bước 1.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - a$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]) + \frac{d}{d x} [- b]$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (1 + \frac{d}{d x} [- a]) + \frac{d}{d x} [- b]$

Bước 1.2.4

Vì $- a$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- a$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- b]$

Bước 1.2.5

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- b]$

Bước 1.2.6

Nhân $\frac{x - a}{| x - a |}$ với $1$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} + \frac{d}{d x} [- b]$

Bước 1.3

Vì $- b$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- b$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} + 0$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Cộng $\frac{x - a}{| x - a |}$ và $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |}$

Bước 1.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- a + x}{| x - a |}$

Bước 1.4.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- a$ .

$\frac{- (a) + x}{| x - a |}$

Bước 1.4.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $x$ .

$\frac{- (a) - 1 (- x)}{| x - a |}$

Bước 1.4.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (a) - 1 (- x)$ .

$\frac{- (a - x)}{| x - a |}$

Bước 1.4.6

Viết lại $- (a - x)$ ở dạng $- 1 (a - x)$ .

$\frac{- 1 (a - x)}{| x - a |}$

Bước 1.4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{a - x}{| x - a |}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{a - x}{| x - a |}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{a - x}{| x - a |} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = a - x$ và $g (x) = | x - a |$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | \frac{d}{d x} (a - x) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $a - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | (\frac{d}{d x} (a) + \frac{d}{d x} (- x)) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.3.2

Vì $a$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $a$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | (0 + \frac{d}{d x} (- x)) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | \frac{d}{d x} (- x) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | (- \frac{d}{d x} x) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | (- 1 \cdot 1) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | \cdot - 1 - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.3.6.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $| x - a |$ .

$f'' (x) = - \frac{- 1 \cdot | x - a | - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.3.6.3

Viết lại $- 1 | x - a |$ ở dạng $- | x - a |$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = | x |$ và $g (x) = x - a$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - a$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x - a))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.4.2

Đạo hàm của $| u |$ đối với $u$ là $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x - a))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - a$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{x - a}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (x - a))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - a$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{x - a}{| x - a |} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- a)))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{x - a}{| x - a |} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- a)))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.5.3

Vì $- a$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- a$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{x - a}{| x - a |} \cdot (1 + 0))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.5.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{x - a}{| x - a |} \cdot 1)}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.5.4.2

Nhân $\frac{x - a}{| x - a |}$ với $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{x - a}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 2.5.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{x - a}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot 0$

Bước 2.5.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.1

Nhân $\frac{a - x}{| x - a |}$ với $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{x - a}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}} + 0$

Bước 2.5.6.2

Cộng $- \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{x - a}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$ và $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{x - a}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + (- a + x) (\frac{x - a}{| x - a |})}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1.1

Nhân $- - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + (- a + 1 x) (\frac{x - a}{| x - a |})}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.1.1.2

Nhân $x$ với $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + (- a + x) (\frac{x - a}{| x - a |})}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.1.2

Nhân $- a + x$ với $\frac{x - a}{| x - a |}$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{(- a + x) (x - a)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.1.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1.3.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{(- a + x) (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.1.3.2

Nâng $- a + x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{(- a + x) (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.1.3.3

Nâng $- a + x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{(- a + x) (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.1.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{{(- a + x)}^{1 + 1}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.1.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{{(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.2

Để viết $- | x - a |$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{| x - a |}{| x - a |}$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | \cdot \frac{| x - a |}{| x - a |} + \frac{{(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.3

Kết hợp $- | x - a |$ và $\frac{| x - a |}{| x - a |}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x - a | | x - a |}{| x - a |} + \frac{{(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x - a | | x - a | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.5.1

Nhân $- | x - a | | x - a |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.5.1.1

Để nhân các giá trị tuyệt đối, nhân các số hạng bên trong mỗi giá trị tuyệt đối.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | (x - a) (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.1.2

Nâng $x - a$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | (x - a) (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.1.3

Nâng $x - a$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | (x - a) (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.1.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | {(x - a)}^{1 + 1} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.1.5

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | {(x - a)}^{2} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.2

Viết lại ${(x - a)}^{2}$ ở dạng $(x - a) (x - a)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | (x - a) (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.3

Khai triển $(x - a) (x - a)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.5.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x (x - a) - a (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x \cdot x + x (- a) - a (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x \cdot x + x (- a) - a x - a (- a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.5.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.5.4.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} + x (- a) - a x - a (- a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.4.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x - a (- a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.4.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x - 1 \cdot (- 1 a \cdot a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.4.1.4

Nhân $a$ với $a$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.5.4.1.4.1

Di chuyển $a$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x - 1 \cdot (- 1 (a \cdot a)) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.4.1.4.2

Nhân $a$ với $a$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x - 1 \cdot (- 1 a^{2}) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.4.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x + 1 a^{2} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.4.1.6

Nhân $a^{2}$ với $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x + a^{2} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.4.2

Trừ $a x$ khỏi $- x a$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.5.4.2.1

Di chuyển $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - a x - a x + a^{2} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.4.2.2

Trừ $a x$ khỏi $- a x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.5

Viết lại ${(- a + x)}^{2}$ ở dạng $(- a + x) (- a + x)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + (- a + x) (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.6

Khai triển $(- a + x) (- a + x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.5.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a (- a + x) + x (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a (- a) - a x + x (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a (- a) - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.7

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.5.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.5.7.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - 1 \cdot (- 1 a \cdot a) - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.7.1.2

Nhân $a$ với $a$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.5.7.1.2.1

Di chuyển $a$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - 1 \cdot (- 1 (a \cdot a)) - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.7.1.2.2

Nhân $a$ với $a$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - 1 \cdot (- 1 a^{2}) - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.7.1.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + 1 a^{2} - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.7.1.4

Nhân $a^{2}$ với $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + a^{2} - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.7.1.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + a^{2} - a x - x a + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.7.1.6

Nhân $x$ với $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + a^{2} - a x - x a + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.7.2

Trừ $x a$ khỏi $- a x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.5.7.2.1

Di chuyển $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + a^{2} - a x - a x + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.5.7.2.2

Trừ $a x$ khỏi $- a x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + a^{2} - 2 a x + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- | x^{2} - 2 a x + a^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} |) + a^{2} - 2 a x + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $a^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} |) - 1 (- a^{2}) - 2 a x + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} |) - 1 (- a^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2}) - 2 a x + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 a x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2}) - (2 a x) + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2}) - (2 a x)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x) + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.11

Đưa $- 1$ ra ngoài $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x) - 1 (- x^{2})}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.12

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x) - 1 (- x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2})}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.13

Viết lại $- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2})$ ở dạng $- 1 (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 1 (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2})}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.2.14

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Bước 2.6.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.3.1

Viết lại $\frac{- \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$ ở dạng một tích.

$f'' (x) = - (- \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{| x - a |} \cdot \frac{1}{{| x - a |}^{2}})$

Bước 2.6.3.2

Nhân $\frac{1}{{| x - a |}^{2}}$ với $\frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{| x - a |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{2} | x - a |}$

Bước 2.6.3.3

Nhân ${| x - a |}^{2}$ với $| x - a |$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.3.3.1

Nhân ${| x - a |}^{2}$ với $| x - a |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.3.3.1.1

Nâng $| x - a |$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{2} | x - a |}$

Bước 2.6.3.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{2 + 1}}$

Bước 2.6.3.3.2

Cộng $2$ và $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{3}}$

Bước 2.6.3.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{3}})$

Bước 2.6.3.5

Nhân $\frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{3}}$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{3}}$

Bước 2.6.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = \frac{- a^{2} - x^{2} + 2 a x + | x^{2} - 2 a x + a^{2} |}{{| x - a |}^{3}}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- \frac{a - x}{| x - a |} = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $| x - a | - b$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [| x - a |] + \frac{d}{d x} [- b]$ .

$\frac{d}{d x} [| x - a |] + \frac{d}{d x} [- b]$

Bước 4.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [| x - a |]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = | x |$ và $g (x) = x - a$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - a$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Bước 4.1.2.1.2

Đạo hàm của $| u |$ đối với $u$ là $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Bước 4.1.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - a$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Bước 4.1.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - a$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]) + \frac{d}{d x} [- b]$

Bước 4.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (1 + \frac{d}{d x} [- a]) + \frac{d}{d x} [- b]$

Bước 4.1.2.4

Vì $- a$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- a$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- b]$

Bước 4.1.2.5

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- b]$

Bước 4.1.2.6

Nhân $\frac{x - a}{| x - a |}$ với $1$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} + \frac{d}{d x} [- b]$

Bước 4.1.3

Vì $- b$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- b$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} + 0$

Bước 4.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Cộng $\frac{x - a}{| x - a |}$ và $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |}$

Bước 4.1.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- a + x}{| x - a |}$

Bước 4.1.4.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- a$ .

$\frac{- (a) + x}{| x - a |}$

Bước 4.1.4.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $x$ .

$\frac{- (a) - 1 (- x)}{| x - a |}$

Bước 4.1.4.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (a) - 1 (- x)$ .

$\frac{- (a - x)}{| x - a |}$

Bước 4.1.4.6

Viết lại $- (a - x)$ ở dạng $- 1 (a - x)$ .

$\frac{- 1 (a - x)}{| x - a |}$

Bước 4.1.4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{a - x}{| x - a |}$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{a - x}{| x - a |}$ .

$- \frac{a - x}{| x - a |}$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{a - x}{| x - a |} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{a - x}{| x - a |} = 0$

Bước 5.2

Cho tử bằng không.

$a - x = 0$

Bước 5.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Trừ $a$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x = - a$

Bước 5.3.2

Chia mỗi số hạng trong $- x = - a$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x = - a$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- a}{- 1}$

Bước 5.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- a}{- 1}$

Bước 5.3.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- a}{- 1}$

Bước 5.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$x = \frac{a}{1}$

Bước 5.3.2.3.2

Chia $a$ cho $1$ .

$x = a$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = a$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = a$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{- a^{2} - {(a)}^{2} + 2 a (a) + | {(a)}^{2} - 2 a \cdot a + a^{2} |}{{| (a) - a |}^{3}}$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Trừ $a$ khỏi $a$ .

$\frac{- a^{2} - {(a)}^{2} + 2 a (a) + | {(a)}^{2} - 2 a \cdot a + a^{2} |}{{| 0 |}^{3}}$

Bước 9.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $0$ là $0$ .

$\frac{- a^{2} - {(a)}^{2} + 2 a (a) + | {(a)}^{2} - 2 a \cdot a + a^{2} |}{0^{3}}$

Bước 9.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{- a^{2} - {(a)}^{2} + 2 a (a) + | {(a)}^{2} - 2 a \cdot a + a^{2} |}{0}$

Bước 9.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 10

Vì phép kiểm định đạo hàm bậc nhất thất bại, nên không có cực trị địa phương.

Không có cực trị địa phương

Bước 11