Đại số Ví dụ

${(x - \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 1

Tam giác Pascal có thể được hiển thị như thế này:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

Tam giác có thể được sử dụng để tính các hệ số của việc khai triển ${(a + b)}^{n}$ bằng cách lấy số mũ $n$ và cộng $1$ . Các hệ số sẽ tương ứng với đường thẳng $n + 1$ của tam giác. Đối với ${(x - \frac{1}{x})}^{3}$ , $n = 3$ , vì vậy các hệ số của việc khai triển sẽ tương ứng với đường thẳng $4$ .

Bước 2

Việc khai triển tuân theo quy tắc ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Các giá trị của các hệ số, từ tam giác, là $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Bước 3

Thay các giá trị thực tế của $a$ $x$ và $b$ $- \frac{1}{x}$ vào biểu thức.

$1 {(x)}^{3} {(- \frac{1}{x})}^{0} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân ${(x)}^{3}$ với $1$ .

${(x)}^{3} {(- \frac{1}{x})}^{0} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{1}{x}$ .

$x^{3} ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{0}) + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{x^{0}}) + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

${(- 1)}^{0} x^{3} \frac{1^{0}}{x^{0}} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.4

Triệt tiêu thừa số chung $x^{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Đưa $x^{0}$ ra ngoài ${(- 1)}^{0} x^{3}$ .

$x^{0} ({(- 1)}^{0} x^{3}) \frac{1^{0}}{x^{0}} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{0} ({(- 1)}^{0} x^{3}) \frac{1^{0}}{x^{0}} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.4.3

Viết lại biểu thức.

${(- 1)}^{0} x^{3} \cdot 1^{0} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.5

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$1 x^{3} \cdot 1^{0} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.6

Nhân $1$ với $1^{0}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Di chuyển $1^{0}$ .

$1^{0} \cdot 1 x^{3} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.6.2

Nhân $1^{0}$ với $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Nâng $1$ lên lũy thừa $1$ .

$1^{0} \cdot 1^{1} x^{3} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.6.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$1^{0 + 1} x^{3} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.6.3

Cộng $0$ và $1$ .

$1^{1} x^{3} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.7

Rút gọn $1^{1} x^{3}$ .

$x^{3} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.8

Rút gọn.

$x^{3} + 3 x^{2} (- \frac{1}{x}) + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.9

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{x}$ vào tử số.

$x^{3} + 3 x^{2} \frac{- 1}{x} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.9.2

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$x^{3} + x (3 x) \frac{- 1}{x} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.9.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{3} + x (3 x) \frac{- 1}{x} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.9.4

Viết lại biểu thức.

$x^{3} + 3 x \cdot - 1 + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.10

Nhân $- 1$ với $3$ .

$x^{3} - 3 x + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.11

Rút gọn.

$x^{3} - 3 x + 3 x {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.12

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.12.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{1}{x}$ .

$x^{3} - 3 x + 3 x ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2}) + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.12.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} - 3 x + 3 x ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{x^{2}}) + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.13

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$x^{3} - 3 x + 3 x (1 \frac{1^{2}}{x^{2}}) + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.14

Nhân $\frac{1^{2}}{x^{2}}$ với $1$ .

$x^{3} - 3 x + 3 x \frac{1^{2}}{x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.15

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x^{3} - 3 x + 3 x \frac{1}{x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.16

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.16.1

Đưa $x$ ra ngoài $3 x$ .

$x^{3} - 3 x + x \cdot 3 \frac{1}{x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.16.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$x^{3} - 3 x + x \cdot 3 \frac{1}{x \cdot x} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.16.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{3} - 3 x + x \cdot 3 \frac{1}{x \cdot x} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.16.4

Viết lại biểu thức.

$x^{3} - 3 x + 3 \frac{1}{x} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.17

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.18

Nhân ${(x)}^{0}$ với $1$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.19

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + 1 {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.20

Nhân ${(- \frac{1}{x})}^{3}$ với $1$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.21

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.21.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{1}{x}$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{3}$

Bước 4.21.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{x^{3}}$

Bước 4.22

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} - \frac{1^{3}}{x^{3}}$

Bước 4.23

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^{3}}$