Đại số Ví dụ

$\sqrt{x + 3} > \sqrt{4 - x}$

Bước 1

Giải $\frac{1}{2} < x < 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của bất đẳng thức, ta bình phương cả hai vế của bất đẳng thức.

${\sqrt{x + 3}}^{2} > {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Bước 1.2

Rút gọn mỗi vế của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x + 3}$ ở dạng ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Bước 1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Rút gọn ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Bước 1.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Bước 1.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(x + 3)}^{1} > {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Bước 1.2.2.1.2

Rút gọn.

$x + 3 > {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Bước 1.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Viết lại ${\sqrt{4 - x}}^{2}$ ở dạng $4 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{4 - x}$ ở dạng ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x + 3 > {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Bước 1.2.3.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 3 > {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Bước 1.2.3.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$x + 3 > {(4 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Bước 1.2.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x + 3 > {(4 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Bước 1.2.3.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$x + 3 > {(4 - x)}^{1}$

Bước 1.2.3.1.5

Rút gọn.

$x + 3 > 4 - x$

Bước 1.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Cộng $x$ cho cả hai vế của bất đẳng thức.

$x + 3 + x > 4$

Bước 1.3.1.2

Cộng $x$ và $x$ .

$2 x + 3 > 4$

Bước 1.3.2

Chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$2 x > 4 - 3$

Bước 1.3.2.2

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$2 x > 1$

Bước 1.3.3

Chia mỗi số hạng trong $2 x > 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x > 1$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{1}{2}$

Bước 1.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} > \frac{1}{2}$

Bước 1.3.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x > \frac{1}{2}$

Bước 1.4

Tìm tập xác định của $\sqrt{x + 3} - \sqrt{4 - x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x + 3}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x + 3 \geq 0$

Bước 1.4.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$x \geq - 3$

Bước 1.4.3

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{4 - x}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$4 - x \geq 0$

Bước 1.4.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.1

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$- x \geq - 4$

Bước 1.4.4.2

Chia mỗi số hạng trong $- x \geq - 4$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x \geq - 4$ cho $- 1$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Bước 1.4.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Bước 1.4.4.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Bước 1.4.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.2.3.1

Chia $- 4$ cho $- 1$ .

$x \leq 4$

Bước 1.4.5

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$[- 3, 4]$

Bước 1.5

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 3$

$- 3 < x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 4$

$x > 4$

Bước 1.6

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 6$

Bước 1.6.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\sqrt{(- 6) + 3} > \sqrt{4 - (- 6)}$

Bước 1.6.1.3

Vế trái không bằng vế phải, điều đó có nghĩa là câu đã cho là sai.

False

Bước 1.6.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 3 < x < \frac{1}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 3 < x < \frac{1}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 1.6.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\sqrt{(0) + 3} > \sqrt{4 - (0)}$

Bước 1.6.2.3

Vế trái $1.7320508$ không lớn hơn vế phải $2$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 1.6.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{1}{2} < x < 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{1}{2} < x < 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 2$

Bước 1.6.3.2

Thay thế $x$ bằng $2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\sqrt{(2) + 3} > \sqrt{4 - (2)}$

Bước 1.6.3.3

Vế trái $2.23606797$ lớn hơn vế phải $1.41421356$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 1.6.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 6$

Bước 1.6.4.2

Thay thế $x$ bằng $6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\sqrt{(6) + 3} > \sqrt{4 - (6)}$

Bước 1.6.4.3

Vế trái không bằng vế phải, điều đó có nghĩa là câu đã cho là sai.

False

Bước 1.6.5

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 3$ Sai

$- 3 < x < \frac{1}{2}$ Sai

$\frac{1}{2} < x < 4$ Đúng

$x > 4$ Sai

$x < - 3$ Sai

$- 3 < x < \frac{1}{2}$ Sai

$\frac{1}{2} < x < 4$ Đúng

$x > 4$ Sai

Bước 1.7

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$\frac{1}{2} < x < 4$

Bước 2

Sử dụng bất đẳng thức $\frac{1}{2} < x < 4$ để thiết lập biểu diễn tập hợp.

${x | \frac{1}{2} < x < 4}$

Bước 3