Đại số Ví dụ

$\log_{2} (\log_{2} (\sqrt{4 x})) = 1$

Bước 1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\log_{2} (\log_{2} (\sqrt{4 x})) - 1 = 0$

Bước 2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\log_{2} (\log_{2} (\sqrt{2^{2} x})) - 1 = 0$

Bước 2.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\log_{2} (\log_{2} (2 \sqrt{x})) - 1 = 0$

Bước 3

Đặt đối số trong $\log_{2} (2 \sqrt{x})$ nhỏ hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$2 \sqrt{x} \leq 0$

Bước 4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của bất đẳng thức, ta bình phương cả hai vế của bất đẳng thức.

${(2 \sqrt{x})}^{2} \leq 0^{2}$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi vế của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Bước 4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Rút gọn ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Bước 4.2.2.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Bước 4.2.2.1.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Bước 4.2.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Bước 4.2.2.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$4 x^{1} \leq 0^{2}$

Bước 4.2.2.1.4

Rút gọn.

$4 x \leq 0^{2}$

Bước 4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$4 x \leq 0$

Bước 4.3

Chia mỗi số hạng trong $4 x \leq 0$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x \leq 0$ cho $4$ .

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{0}{4}$

Bước 4.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{0}{4}$

Bước 4.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x \leq \frac{0}{4}$

Bước 4.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Chia $0$ cho $4$ .

$x \leq 0$

Bước 5

Đặt đối số trong $\log_{2} (\log_{2} (2 \sqrt{x}))$ nhỏ hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$\log_{2} (2 \sqrt{x}) \leq 0$

Bước 6

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Quy đổi bất đẳng thức thành một đẳng thức.

$\log_{2} (2 \sqrt{x}) = 0$

Bước 6.2

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Viết lại $\log_{2} (2 \sqrt{x}) = 0$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$2^{0} = 2 \sqrt{x}$

Bước 6.2.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 \sqrt{x} = 2^{0}$ .

$2 \sqrt{x} = 2^{0}$

Bước 6.2.2.2

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

Bước 6.2.2.3

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

Bước 6.2.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.2.1

Rút gọn ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

Bước 6.2.2.3.2.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

Bước 6.2.2.3.2.1.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2^{0})}^{2}$

Bước 6.2.2.3.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.2.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2^{0})}^{2}$

Bước 6.2.2.3.2.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$4 x^{1} = {(2^{0})}^{2}$

Bước 6.2.2.3.2.1.4

Rút gọn.

$4 x = {(2^{0})}^{2}$

Bước 6.2.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.3.1

Rút gọn ${(2^{0})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.3.1.1

Nhân các số mũ trong ${(2^{0})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.3.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x = 2^{0 \cdot 2}$

Bước 6.2.2.3.3.1.1.2

Nhân $0$ với $2$ .

$4 x = 2^{0}$

Bước 6.2.2.3.3.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$4 x = 1$

Bước 6.2.2.4

Chia mỗi số hạng trong $4 x = 1$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.4.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x = 1$ cho $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Bước 6.2.2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Bước 6.2.2.4.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Bước 6.3

Tìm tập xác định của $\log_{2} (2 \sqrt{x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Đặt giá trị đối số trong $\log_{2} (2 \sqrt{x})$ lớn hơn $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$2 \sqrt{x} > 0$

Bước 6.3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của bất đẳng thức, ta bình phương cả hai vế của bất đẳng thức.

${(2 \sqrt{x})}^{2} > 0^{2}$

Bước 6.3.2.2

Rút gọn mỗi vế của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Bước 6.3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.2.1

Rút gọn ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Bước 6.3.2.2.2.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Bước 6.3.2.2.2.1.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Bước 6.3.2.2.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.2.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Bước 6.3.2.2.2.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$4 x^{1} > 0^{2}$

Bước 6.3.2.2.2.1.4

Rút gọn.

$4 x > 0^{2}$

Bước 6.3.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$4 x > 0$

Bước 6.3.2.3

Chia mỗi số hạng trong $4 x > 0$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x > 0$ cho $4$ .

$\frac{4 x}{4} > \frac{0}{4}$

Bước 6.3.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x}{4} > \frac{0}{4}$

Bước 6.3.2.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x > \frac{0}{4}$

Bước 6.3.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.3.3.1

Chia $0$ cho $4$ .

$x > 0$

Bước 6.3.2.4

Tìm tập xác định của $2 \sqrt{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.4.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x \geq 0$

Bước 6.3.2.4.2

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$[0, \infty)$

Bước 6.3.2.5

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x > 0$

Bước 6.3.3

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x \geq 0$

Bước 6.3.4

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(0, \infty)$

Bước 6.4

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{4}$

$x > \frac{1}{4}$

Bước 6.5

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 2$

Bước 6.5.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\log_{2} (2 \sqrt{- 2}) \leq 0$

Bước 6.5.1.3

Vế trái không bằng vế phải, điều đó có nghĩa là câu đã cho là sai.

False

Bước 6.5.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < x < \frac{1}{4}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < x < \frac{1}{4}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0.12$

Bước 6.5.2.2

Thay thế $x$ bằng $0.12$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\log_{2} (2 \sqrt{0.12}) \leq 0$

Bước 6.5.2.3

Vế trái $- 0.52944684$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 6.5.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > \frac{1}{4}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > \frac{1}{4}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 3$

Bước 6.5.3.2

Thay thế $x$ bằng $3$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\log_{2} (2 \sqrt{3}) \leq 0$

Bước 6.5.3.3

Vế trái $1.79248125$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 6.5.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < 0$ Sai

$0 < x < \frac{1}{4}$ Đúng

$x > \frac{1}{4}$ Sai

$x < 0$ Sai

$0 < x < \frac{1}{4}$ Đúng

$x > \frac{1}{4}$ Sai

Bước 6.6

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$0 < x \leq \frac{1}{4}$

Bước 7

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x}$ nhỏ hơn $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x < 0$

Bước 8

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x \leq \frac{1}{4}$

$(- \infty, \frac{1}{4}]$

Bước 9