Đại số Ví dụ

$f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

Bước 1

Viết $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ ở dạng một phương trình.

$y = {(\frac{1}{2})}^{x}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = {(\frac{1}{2})}^{y}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng ${(\frac{1}{2})}^{y} = x$ .

${(\frac{1}{2})}^{y} = x$

Bước 3.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln ({(\frac{1}{2})}^{y}) = \ln (x)$

Bước 3.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Khai triển $\ln ({(\frac{1}{2})}^{y})$ bằng cách di chuyển $y$ ra bên ngoài lôgarit.

$y \ln (\frac{1}{2}) = \ln (x)$

Bước 3.3.2

Viết lại $\ln (\frac{1}{2})$ ở dạng $\ln (1) - \ln (2)$ .

$y (\ln (1) - \ln (2)) = \ln (x)$

Bước 3.3.3

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$y (0 - \ln (2)) = \ln (x)$

Bước 3.3.4

Trừ $\ln (2)$ khỏi $0$ .

$y (- \ln (2)) = \ln (x)$

Bước 3.4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $y (- \ln (2))$ .

$- y \ln (2) = \ln (x)$

Bước 3.5

Chia mỗi số hạng trong $- y \ln (2) = \ln (x)$ cho $- \ln (2)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Chia mỗi số hạng trong $- y \ln (2) = \ln (x)$ cho $- \ln (2)$ .

$\frac{- y \ln (2)}{- \ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

Bước 3.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

Bước 3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

Bước 3.5.2.2.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

Bước 3.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ có là hàm ngược của $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x}) = - \frac{\ln ({(\frac{1}{2})}^{x})}{\ln (2)}$

Bước 5.2.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1^{x}}{2^{x}})}{\ln (2)}$

Bước 5.2.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{2^{x}})}{\ln (2)}$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}$

Bước 5.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}}{2^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}}$

Bước 5.3.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}}$

Bước 5.3.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Sử dụng quy tắc đổi cơ số $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{- \log_{2} (x)}}$

Bước 5.3.4.2

Rút gọn $- \log_{2} (x)$ bằng cách di chuyển $- 1$ trong logarit.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{\log_{2} (x^{- 1})}}$

Bước 5.3.4.3

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{x^{- 1}}$

Bước 5.3.4.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Bước 5.3.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 1 x$

Bước 5.3.6

Nhân $x$ với $1$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ là hàm ngược của $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$