Đại số Ví dụ

$f (x) = \frac{3}{x + 2} - \sqrt{x - 3}$

Bước 1

Tìm tập xác định của $y = \frac{3}{x + 2} - \sqrt{x - 3}$ sao cho có thể lấy được một danh sách các giá trị $x$ để tìm một danh sách các điểm giúp ta vẽ đồ thị hàm căn thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x - 3}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x - 3 \geq 0$

Bước 1.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của bất đẳng thức.

$x \geq 3$

Bước 1.3

Đặt mẫu số trong $\frac{3 - \sqrt{x - 3} x - 2 \sqrt{x - 3}}{x + 2}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x + 2 = 0$

Bước 1.4

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Bước 1.5

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$[3, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \geq 3}$

Ký hiệu khoảng:

$[3, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \geq 3}$

Bước 2

Để tìm điểm cuối của biểu thức chứa căn, ta thay giá trị $x$ $3$ , là giá trị nhỏ nhất trong tập xác định, vào $f (x) = \frac{3 - \sqrt{x - 3} x - 2 \sqrt{x - 3}}{x + 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f (3) = \frac{3 - \sqrt{(3) - 3} \cdot 3 - 2 \sqrt{(3) - 3}}{(3) + 2}$

Bước 2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$f (3) = \frac{3 - \sqrt{0} \cdot 3 - 2 \sqrt{3 - 3}}{3 + 2}$

Bước 2.2.1.2

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$f (3) = \frac{3 - \sqrt{0^{2}} \cdot 3 - 2 \sqrt{3 - 3}}{3 + 2}$

Bước 2.2.1.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (3) = \frac{3 + 0 \cdot 3 - 2 \sqrt{3 - 3}}{3 + 2}$

Bước 2.2.1.4

Nhân $- 0 \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.4.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$f (3) = \frac{3 + 0 \cdot 3 - 2 \sqrt{3 - 3}}{3 + 2}$

Bước 2.2.1.4.2

Nhân $0$ với $3$ .

$f (3) = \frac{3 + 0 - 2 \sqrt{3 - 3}}{3 + 2}$

Bước 2.2.1.5

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$f (3) = \frac{3 + 0 - 2 \sqrt{0}}{3 + 2}$

Bước 2.2.1.6

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$f (3) = \frac{3 + 0 - 2 \sqrt{0^{2}}}{3 + 2}$

Bước 2.2.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (3) = \frac{3 + 0 - 2 \cdot 0}{3 + 2}$

Bước 2.2.1.8

Nhân $- 2$ với $0$ .

$f (3) = \frac{3 + 0 + 0}{3 + 2}$

Bước 2.2.1.9

Cộng $3 + 0$ và $0$ .

$f (3) = \frac{3 + 0}{3 + 2}$

Bước 2.2.1.10

Cộng $3$ và $0$ .

$f (3) = \frac{3}{3 + 2}$

Bước 2.2.2

Cộng $3$ và $2$ .

$f (3) = \frac{3}{5}$

Bước 2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{3}{5}$ .

$\frac{3}{5}$

Bước 3

Điểm cuối của biểu thức chứa căn là $(3, \frac{3}{5})$ .

$(3, \frac{3}{5})$

Bước 4

Chọn một vài giá trị $x$ từ tập xác định. Sẽ hữu ích hơn khi chọn các giá trị sao cho chúng nằm cạnh giá trị $x$ của điểm cuối của biểu thức chứa căn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $x$ giá trị $4$ vào $f (x) = \frac{3 - \sqrt{x - 3} x - 2 \sqrt{x - 3}}{x + 2}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(4, - \frac{1}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$f (4) = \frac{3 - \sqrt{(4) - 3} \cdot 4 - 2 \sqrt{(4) - 3}}{(4) + 2}$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$f (4) = \frac{3 - \sqrt{1} \cdot 4 - 2 \sqrt{4 - 3}}{4 + 2}$

Bước 4.1.2.1.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$f (4) = \frac{3 - 1 \cdot 1 \cdot 4 - 2 \sqrt{4 - 3}}{4 + 2}$

Bước 4.1.2.1.3

Nhân $- 1 \cdot 1 \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (4) = \frac{3 - 1 \cdot 4 - 2 \sqrt{4 - 3}}{4 + 2}$

Bước 4.1.2.1.3.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$f (4) = \frac{3 - 4 - 2 \sqrt{4 - 3}}{4 + 2}$

Bước 4.1.2.1.4

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$f (4) = \frac{3 - 4 - 2 \sqrt{1}}{4 + 2}$

Bước 4.1.2.1.5

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$f (4) = \frac{3 - 4 - 2 \cdot 1}{4 + 2}$

Bước 4.1.2.1.6

Nhân $- 2$ với $1$ .

$f (4) = \frac{3 - 4 - 2}{4 + 2}$

Bước 4.1.2.1.7

Trừ $4$ khỏi $3$ .

$f (4) = \frac{- 1 - 2}{4 + 2}$

Bước 4.1.2.1.8

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$f (4) = \frac{- 3}{4 + 2}$

Bước 4.1.2.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Cộng $4$ và $2$ .

$f (4) = \frac{- 3}{6}$

Bước 4.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 3$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3$ .

$f (4) = \frac{3 (- 1)}{6}$

Bước 4.1.2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$f (4) = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Bước 4.1.2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (4) = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Bước 4.1.2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (4) = \frac{- 1}{2}$

Bước 4.1.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (4) = - \frac{1}{2}$

Bước 4.1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Bước 4.2

Thay $x$ giá trị $5$ vào $f (x) = \frac{3 - \sqrt{x - 3} x - 2 \sqrt{x - 3}}{x + 2}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(5, \frac{3 - 7 \sqrt{2}}{7})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $5$ trong biểu thức.

$f (5) = \frac{3 - \sqrt{(5) - 3} \cdot 5 - 2 \sqrt{(5) - 3}}{(5) + 2}$

Bước 4.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Trừ $3$ khỏi $5$ .

$f (5) = \frac{3 - \sqrt{2} \cdot 5 - 2 \sqrt{5 - 3}}{5 + 2}$

Bước 4.2.2.1.2

Nhân $5$ với $- 1$ .

$f (5) = \frac{3 - 5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5 - 3}}{5 + 2}$

Bước 4.2.2.1.3

Trừ $3$ khỏi $5$ .

$f (5) = \frac{3 - 5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{5 + 2}$

Bước 4.2.2.1.4

Trừ $2 \sqrt{2}$ khỏi $- 5 \sqrt{2}$ .

$f (5) = \frac{3 - 7 \sqrt{2}}{5 + 2}$

Bước 4.2.2.2

Cộng $5$ và $2$ .

$f (5) = \frac{3 - 7 \sqrt{2}}{7}$

Bước 4.2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{3 - 7 \sqrt{2}}{7}$ .

$y = \frac{3 - 7 \sqrt{2}}{7}$

Bước 4.3

Căn bậc hai có thể được biểu diễn bằng các điểm xung quanh đỉnh $(3, \frac{3}{5}), (4, - 0.5), (5, - 0.99)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & \frac{3}{5} \\ 4 & - 0.5 \\ 5 & - 0.99 \end{array}$

Bước 5