Đại số Ví dụ

$2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2} - 125 x - 500$

Bước 1

Nhóm các số hạng lại lần nữa.

$- 125 x - 500 + 2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Bước 2

Đưa $- 125$ ra ngoài $- 125 x - 500$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $- 125$ ra ngoài $- 125 x$ .

$- 125 (x) - 500 + 2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Bước 2.2

Đưa $- 125$ ra ngoài $- 500$ .

$- 125 (x) - 125 (4) + 2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Bước 2.3

Đưa $- 125$ ra ngoài $- 125 (x) - 125 (4)$ .

$- 125 (x + 4) + 2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Bước 3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $2 x^{4}$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2}) + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Bước 3.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $23 x^{3}$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (23 x) + 60 x^{2}$

Bước 3.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $60 x^{2}$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (23 x) + x^{2} \cdot 60$

Bước 3.4

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (23 x)$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + 23 x) + x^{2} \cdot 60$

Bước 3.5

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (2 x^{2} + 23 x) + x^{2} \cdot 60$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + 23 x + 60)$

Bước 4

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot 60 = 120$ và có tổng là $b = 23$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Đưa $23$ ra ngoài $23 x$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + 23 (x) + 60)$

Bước 4.1.1.2

Viết lại $23$ ở dạng $8$ cộng $15$

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + (8 + 15) x + 60)$

Bước 4.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + 8 x + 15 x + 60)$

Bước 4.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$- 125 (x + 4) + x^{2} ((2 x^{2} + 8 x) + 15 x + 60)$

Bước 4.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x (x + 4) + 15 (x + 4))$

Bước 4.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $x + 4$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} ((x + 4) (2 x + 15))$

Bước 4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- 125 (x + 4) + x^{2} (x + 4) (2 x + 15)$

Bước 5

Đưa $x + 4$ ra ngoài $- 125 (x + 4) + x^{2} (x + 4) (2 x + 15)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa $x + 4$ ra ngoài $- 125 (x + 4)$ .

$(x + 4) \cdot - 125 + x^{2} (x + 4) (2 x + 15)$

Bước 5.2

Đưa $x + 4$ ra ngoài $x^{2} (x + 4) (2 x + 15)$ .

$(x + 4) \cdot - 125 + (x + 4) (x^{2} (2 x + 15))$

Bước 5.3

Đưa $x + 4$ ra ngoài $(x + 4) \cdot - 125 + (x + 4) (x^{2} (2 x + 15))$ .

$(x + 4) (- 125 + x^{2} (2 x + 15))$

Bước 6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x + 4) (- 125 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 15)$

Bước 7

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 15)$

Bước 8

Di chuyển $15$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{2} x + 15 \cdot x^{2})$

Bước 9

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển $x$ .

$(x + 4) (- 125 + 2 (x \cdot x^{2}) + 15 \cdot x^{2})$

Bước 9.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$(x + 4) (- 125 + 2 (x^{1} x^{2}) + 15 \cdot x^{2})$

Bước 9.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{1 + 2} + 15 \cdot x^{2})$

Bước 9.3

Cộng $1$ và $2$ .

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{3} + 15 \cdot x^{2})$

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{3} + 15 x^{2})$

Bước 10

Sắp xếp lại các số hạng.

$(x + 4) (2 x^{3} + 15 x^{2} - 125)$

Bước 11

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Viết lại $2 x^{3} + 15 x^{2} - 125$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Phân tích $2 x^{3} + 15 x^{2} - 125$ thành thừa số bằng phương pháp kiểm tra nghiệm hữu tỉ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1.1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2$

Bước 11.1.1.2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 125, \pm 62.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 25, \pm 12.5$

Bước 11.1.1.3

Thay $- 5$ và rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $- 5$ là một nghiệm của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1.3.1

Thay $- 5$ vào đa thức.

$2 {(- 5)}^{3} + 15 {(- 5)}^{2} - 125$

Bước 11.1.1.3.2

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $3$ .

$2 \cdot - 125 + 15 {(- 5)}^{2} - 125$

Bước 11.1.1.3.3

Nhân $2$ với $- 125$ .

$- 250 + 15 {(- 5)}^{2} - 125$

Bước 11.1.1.3.4

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $2$ .

$- 250 + 15 \cdot 25 - 125$

Bước 11.1.1.3.5

Nhân $15$ với $25$ .

$- 250 + 375 - 125$

Bước 11.1.1.3.6

Cộng $- 250$ và $375$ .

$125 - 125$

Bước 11.1.1.3.7

Trừ $125$ khỏi $125$ .

$0$

Bước 11.1.1.4

Vì $- 5$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x + 5$ để tìm thương đa thức. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{2 x^{3} + 15 x^{2} - 125}{x + 5}$

Bước 11.1.1.5

Chia $2 x^{3} + 15 x^{2} - 125$ cho $x + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1.5.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$15 x^{2}$

$0 x$

$125$

Bước 11.1.1.5.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $2 x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$

Bước 11.1.1.5.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			+	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Bước 11.1.1.5.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $2 x^{3} + 10 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Bước 11.1.1.5.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

Bước 11.1.1.5.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Bước 11.1.1.5.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $5 x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Bước 11.1.1.5.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$

Bước 11.1.1.5.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $5 x^{2} + 25 x$

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$

Bước 11.1.1.5.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$

Bước 11.1.1.5.11

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$

Bước 11.1.1.5.12

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- 25 x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$25$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$

Bước 11.1.1.5.13

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$25$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$
							-	$25 x$	-	$125$

Bước 11.1.1.5.14

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- 25 x - 125$

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$25$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$
							+	$25 x$	+	$125$

Bước 11.1.1.5.15

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$25$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$
							+	$25 x$	+	$125$
										$0$

Bước 11.1.1.5.16

Vì số dư là $0$ , nên câu trả lời cuối cùng là thương.

$2 x^{2} + 5 x - 25$

Bước 11.1.1.6

Viết $2 x^{3} + 15 x^{2} - 125$ ở dạng một tập hợp các thừa số.

$(x + 4) ((x + 5) (2 x^{2} + 5 x - 25))$

Bước 11.1.2

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.2.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.2.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot - 25 = - 50$ và có tổng là $b = 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.2.1.1.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 x$ .

$(x + 4) ((x + 5) (2 x^{2} + 5 (x) - 25))$

Bước 11.1.2.1.1.2

Viết lại $5$ ở dạng $- 5$ cộng $10$

$(x + 4) ((x + 5) (2 x^{2} + (- 5 + 10) x - 25))$

Bước 11.1.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x + 4) ((x + 5) (2 x^{2} - 5 x + 10 x - 25))$

Bước 11.1.2.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.2.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$(x + 4) ((x + 5) ((2 x^{2} - 5 x) + 10 x - 25))$

Bước 11.1.2.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$(x + 4) ((x + 5) (x (2 x - 5) + 5 (2 x - 5)))$

Bước 11.1.2.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 x - 5$ .

$(x + 4) ((x + 5) ((2 x - 5) (x + 5)))$

Bước 11.1.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(x + 4) ((x + 5) (2 x - 5) (x + 5))$

Bước 11.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(x + 4) (x + 5) (2 x - 5) (x + 5)$

Bước 12

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Nâng $x + 5$ lên lũy thừa $1$ .

$(x + 4) ({(x + 5)}^{1} (x + 5)) (2 x - 5)$

Bước 12.2

Nâng $x + 5$ lên lũy thừa $1$ .

$(x + 4) ({(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1}) (2 x - 5)$

Bước 12.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(x + 4) {(x + 5)}^{1 + 1} (2 x - 5)$

Bước 12.4

Cộng $1$ và $1$ .

$(x + 4) {(x + 5)}^{2} (2 x - 5)$