Đại số Ví dụ

$x^{4} + 2 x^{3} - 7 x^{2} - 8 x + 12$

Bước 1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

Bước 2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Bước 3

Thay từng nghiệm có thể có vào đa thức để tìm các nghiệm thực. Rút gọn để kiểm tra xem giá trị có phải là $0$ , có nghĩa là nó là một nghiệm.

${(1)}^{4} + 2 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 12$

Bước 4

Rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $x = 1$ là một căn của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 + 2 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 12$

Bước 4.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 + 2 \cdot 1 - 7 {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 12$

Bước 4.1.3

Nhân $2$ với $1$ .

$1 + 2 - 7 {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 12$

Bước 4.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 + 2 - 7 \cdot 1 - 8 \cdot 1 + 12$

Bước 4.1.5

Nhân $- 7$ với $1$ .

$1 + 2 - 7 - 8 \cdot 1 + 12$

Bước 4.1.6

Nhân $- 8$ với $1$ .

$1 + 2 - 7 - 8 + 12$

Bước 4.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $1$ và $2$ .

$3 - 7 - 8 + 12$

Bước 4.2.2

Trừ $7$ khỏi $3$ .

$- 4 - 8 + 12$

Bước 4.2.3

Trừ $8$ khỏi $- 4$ .

$- 12 + 12$

Bước 4.2.4

Cộng $- 12$ và $12$ .

$0$

Bước 5

Vì $1$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x - 1$ để tìm đa thức thương. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 7 x^{2} - 8 x + 12}{x - 1}$

Bước 6

Tiếp theo, tìm các nghiệm của đa thức còn lại. Bậc của đa thức đã bị giảm xuống $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$1$	$1$	$2$	$- 7$	$- 8$	$12$

Bước 6.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(1)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$1$	$1$	$2$	$- 7$	$- 8$	$12$

	$1$

Bước 6.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(1)$ với số chia $(1)$ và đặt kết quả của $(1)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(2)$ .

$1$	$1$	$2$	$- 7$	$- 8$	$12$
		$1$
	$1$

Bước 6.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$1$	$1$	$2$	$- 7$	$- 8$	$12$
		$1$
	$1$	$3$

Bước 6.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(3)$ với số chia $(1)$ và đặt kết quả của $(3)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 7)$ .

$1$	$1$	$2$	$- 7$	$- 8$	$12$
		$1$	$3$
	$1$	$3$

Bước 6.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$1$	$1$	$2$	$- 7$	$- 8$	$12$
		$1$	$3$
	$1$	$3$	$- 4$

Bước 6.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 4)$ với số chia $(1)$ và đặt kết quả của $(- 4)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 8)$ .

$1$	$1$	$2$	$- 7$	$- 8$	$12$
		$1$	$3$	$- 4$
	$1$	$3$	$- 4$

Bước 6.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$1$	$1$	$2$	$- 7$	$- 8$	$12$
		$1$	$3$	$- 4$
	$1$	$3$	$- 4$	$- 12$

Bước 6.9

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 12)$ với số chia $(1)$ và đặt kết quả của $(- 12)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(12)$ .

$1$	$1$	$2$	$- 7$	$- 8$	$12$
		$1$	$3$	$- 4$	$- 12$
	$1$	$3$	$- 4$	$- 12$

Bước 6.10

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$1$	$1$	$2$	$- 7$	$- 8$	$12$
		$1$	$3$	$- 4$	$- 12$
	$1$	$3$	$- 4$	$- 12$	$0$

Bước 6.11

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$1 x^{3} + 3 x^{2} + (- 4) x - 12$

Bước 6.12

Rút gọn đa thức thương.

$x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12$

Bước 7

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$(x - 1) (x^{3} + 3 x^{2}) - 4 x - 12$

Bước 7.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$(x - 1) + x^{2} (x + 3) - 4 (x + 3)$

$(x - 1) x^{2} (x + 3) - 4 (x + 3)$

Bước 8

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $x + 3$ .

$(x - 1) (x + 3) (x^{2} - 4)$

Bước 9

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$(x - 1) (x + 3) (x^{2} - 2^{2})$

Bước 10

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

$(x - 1) + (x + 3) ((x + 2) (x - 2))$

Bước 10.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(x - 1) + (x + 3) (x + 2) (x - 2)$

$(x - 1) (x + 3) (x + 2) (x - 2)$

Bước 11

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhóm các số hạng lại lần nữa.

$x^{4} + 2 x^{3} - 7 x^{2} - 8 x + 12 = 0$

Bước 11.2

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $x^{4} + 2 x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $x^{4}$ .

$x^{3} x + 2 x^{3} - 7 x^{2} - 8 x + 12 = 0$

Bước 11.2.2

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $2 x^{3}$ .

$x^{3} x + x^{3} \cdot 2 - 7 x^{2} - 8 x + 12 = 0$

Bước 11.2.3

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $x^{3} x + x^{3} \cdot 2$ .

$x^{3} (x + 2) - 7 x^{2} - 8 x + 12 = 0$

Bước 11.3

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = - 7 \cdot 12 = - 84$ và có tổng là $b = - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.1

Đưa $- 8$ ra ngoài $- 8 x$ .

$x^{3} (x + 2) - 7 x^{2} - 8 x + 12 = 0$

Bước 11.3.1.2

Viết lại $- 8$ ở dạng $6$ cộng $- 14$

$x^{3} (x + 2) - 7 x^{2} + (6 - 14) x + 12 = 0$

Bước 11.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{3} (x + 2) - 7 x^{2} + 6 x - 14 x + 12 = 0$

Bước 11.3.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$x^{3} (x + 2) - 7 x^{2} + 6 x - 14 x + 12 = 0$

Bước 11.3.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$x^{3} (x + 2) + x (- 7 x + 6) + 2 (- 7 x + 6) = 0$

Bước 11.3.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- 7 x + 6$ .

$x^{3} (x + 2) + (- 7 x + 6) (x + 2) = 0$

Bước 11.4

Đưa $x + 2$ ra ngoài $x^{3} (x + 2) + (- 7 x + 6) (x + 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Đưa $x + 2$ ra ngoài $x^{3} (x + 2)$ .

$(x + 2) x^{3} + (- 7 x + 6) (x + 2) = 0$

Bước 11.4.2

Đưa $x + 2$ ra ngoài $(- 7 x + 6) (x + 2)$ .

$(x + 2) x^{3} + (x + 2) (- 7 x + 6) = 0$

Bước 11.4.3

Đưa $x + 2$ ra ngoài $(x + 2) x^{3} + (x + 2) (- 7 x + 6)$ .

$(x + 2) (x^{3} - 7 x + 6) = 0$

Bước 11.5

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Viết lại $x^{3} - 7 x + 6$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1.1

Phân tích $x^{3} - 7 x + 6$ thành thừa số bằng phương pháp kiểm tra nghiệm hữu tỉ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1.1.1

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Bước 11.5.1.1.2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Bước 11.5.1.1.3

Thay $1$ và rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $1$ là một nghiệm của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1.1.3.1

Thay $1$ vào đa thức.

$1^{3} - 7 \cdot 1 + 6$

Bước 11.5.1.1.3.2

Nâng $1$ lên lũy thừa $3$ .

$1 - 7 \cdot 1 + 6$

Bước 11.5.1.1.3.3

Nhân $- 7$ với $1$ .

$1 - 7 + 6$

Bước 11.5.1.1.3.4

Trừ $7$ khỏi $1$ .

$- 6 + 6$

Bước 11.5.1.1.3.5

Cộng $- 6$ và $6$ .

$0$

Bước 11.5.1.1.4

Vì $1$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x - 1$ để tìm thương đa thức. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{x^{3} - 7 x + 6}{x - 1}$

Bước 11.5.1.1.5

Chia $x^{3} - 7 x + 6$ cho $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1.1.5.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$6$

Bước 11.5.1.1.5.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$

Bước 11.5.1.1.5.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Bước 11.5.1.1.5.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Bước 11.5.1.1.5.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Bước 11.5.1.1.5.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$

Bước 11.5.1.1.5.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$

Bước 11.5.1.1.5.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Bước 11.5.1.1.5.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{2} - x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Bước 11.5.1.1.5.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$

Bước 11.5.1.1.5.11

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	+	$6$

Bước 11.5.1.1.5.12

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- 6 x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	+	$6$

Bước 11.5.1.1.5.13

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	+	$6$

Bước 11.5.1.1.5.14

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- 6 x + 6$

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	+	$6$
							+	$6 x$	-	$6$

Bước 11.5.1.1.5.15

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	+	$6$
							+	$6 x$	-	$6$
										$0$

Bước 11.5.1.1.5.16

Vì số dư là $0$ , nên câu trả lời cuối cùng là thương.

$x^{2} + x - 6$

Bước 11.5.1.1.6

Viết $x^{3} - 7 x + 6$ ở dạng một tập hợp các thừa số.

$(x + 2) ((x - 1) (x^{2} + x - 6)) = 0$

Bước 11.5.1.2

Phân tích $x^{2} + x - 6$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1.2.1

Phân tích $x^{2} + x - 6$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1.2.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 6$ và tổng của chúng là $1$ .

$- 2, 3$

Bước 11.5.1.2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(x + 2) ((x - 1) ((x - 2) (x + 3))) = 0$

Bước 11.5.1.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(x + 2) ((x - 1) (x - 2) (x + 3)) = 0$

Bước 11.5.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(x + 2) (x - 1) (x - 2) (x + 3) = 0$

Bước 12

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Bước 13

Đặt $x + 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Đặt $x + 2$ bằng với $0$ .

$x + 2 = 0$

Bước 13.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Bước 14

Đặt $x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Đặt $x - 1$ bằng với $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 14.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 15

Đặt $x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Đặt $x - 2$ bằng với $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 15.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 16

Đặt $x + 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Đặt $x + 3$ bằng với $0$ .

$x + 3 = 0$

Bước 16.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 17

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x + 2) (x - 1) (x - 2) (x + 3) = 0$ đúng.

$x = - 2, 1, 2, - 3$

Bước 18