Đại số Ví dụ

$4 k^{\frac{4}{3}} - 65 k^{\frac{2}{3}} + 16 = 0$

Bước 1

Viết lại $k^{\frac{4}{3}}$ ở dạng ${(k^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

$4 {(k^{\frac{2}{3}})}^{2} - 65 k^{\frac{2}{3}} + 16 = 0$

Bước 2

Giả sử $u = k^{\frac{2}{3}}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $k^{\frac{2}{3}}$ .

$4 u^{2} - 65 u + 16 = 0$

Bước 3

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 4 \cdot 16 = 64$ và có tổng là $b = - 65$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $- 65$ ra ngoài $- 65 u$ .

$4 u^{2} - 65 u + 16 = 0$

Bước 3.1.2

Viết lại $- 65$ ở dạng $- 1$ cộng $- 64$

$4 u^{2} + (- 1 - 64) u + 16 = 0$

Bước 3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 u^{2} - 1 u - 64 u + 16 = 0$

Bước 3.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$(4 u^{2} - 1 u) - 64 u + 16 = 0$

Bước 3.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$u (4 u - 1) - 16 (4 u - 1) = 0$

Bước 3.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 16) = 0$

Bước 4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $k^{\frac{2}{3}}$ .

$(4 k^{\frac{2}{3}} - 1) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$

Bước 5

Viết lại $4 k^{\frac{2}{3}}$ ở dạng ${(2 k^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$({(2 k^{\frac{1}{3}})}^{2} - 1) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$

Bước 6

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$({(2 k^{\frac{1}{3}})}^{2} - 1^{2}) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$

Bước 7

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 2 k^{\frac{1}{3}}$ và $b = 1$ .

$(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$

Bước 8

Viết lại $k^{\frac{2}{3}}$ ở dạng ${(k^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) ({(k^{\frac{1}{3}})}^{2} - 16) = 0$

Bước 9

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) ({(k^{\frac{1}{3}})}^{2} - 4^{2}) = 0$

Bước 10

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = k^{\frac{1}{3}}$ và $b = 4$ .

$(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) ((k^{\frac{1}{3}} + 4) (k^{\frac{1}{3}} - 4)) = 0$

Bước 10.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) (k^{\frac{1}{3}} + 4) (k^{\frac{1}{3}} - 4) = 0$

Bước 11

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 k^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

$2 k^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$

$k^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$

$k^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

Bước 12

Đặt $2 k^{\frac{1}{3}} + 1$ bằng $0$ và giải tìm $k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Đặt $2 k^{\frac{1}{3}} + 1$ bằng với $0$ .

$2 k^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

Bước 12.2

Giải $2 k^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$ để tìm $k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 k^{\frac{1}{3}} = - 1$

Bước 12.2.2

Lấy mũ lũy thừa $3$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(2 k^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Bước 12.2.3

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.1.1

Rút gọn ${(2 k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 k^{\frac{1}{3}}$ .

$2^{3} {(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Bước 12.2.3.1.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$8 {(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Bước 12.2.3.1.1.3

Nhân các số mũ trong ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.1.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Bước 12.2.3.1.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Bước 12.2.3.1.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$8 k^{1} = {(- 1)}^{3}$

Bước 12.2.3.1.1.4

Rút gọn.

$8 k = {(- 1)}^{3}$

Bước 12.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$8 k = - 1$

Bước 12.2.4

Chia mỗi số hạng trong $8 k = - 1$ cho $8$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.4.1

Chia mỗi số hạng trong $8 k = - 1$ cho $8$ .

$\frac{8 k}{8} = \frac{- 1}{8}$

Bước 12.2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{8 k}{8} = \frac{- 1}{8}$

Bước 12.2.4.2.1.2

Chia $k$ cho $1$ .

$k = \frac{- 1}{8}$

Bước 12.2.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.4.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$k = - \frac{1}{8}$

Bước 13

Đặt $2 k^{\frac{1}{3}} - 1$ bằng $0$ và giải tìm $k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Đặt $2 k^{\frac{1}{3}} - 1$ bằng với $0$ .

$2 k^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$

Bước 13.2

Giải $2 k^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$ để tìm $k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 k^{\frac{1}{3}} = 1$

Bước 13.2.2

Lấy mũ lũy thừa $3$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(2 k^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Bước 13.2.3

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.3.1.1

Rút gọn ${(2 k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.3.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 k^{\frac{1}{3}}$ .

$2^{3} {(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Bước 13.2.3.1.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$8 {(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Bước 13.2.3.1.1.3

Nhân các số mũ trong ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.3.1.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Bước 13.2.3.1.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.3.1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Bước 13.2.3.1.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$8 k^{1} = 1^{3}$

Bước 13.2.3.1.1.4

Rút gọn.

$8 k = 1^{3}$

Bước 13.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.3.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$8 k = 1$

Bước 13.2.4

Chia mỗi số hạng trong $8 k = 1$ cho $8$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.4.1

Chia mỗi số hạng trong $8 k = 1$ cho $8$ .

$\frac{8 k}{8} = \frac{1}{8}$

Bước 13.2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{8 k}{8} = \frac{1}{8}$

Bước 13.2.4.2.1.2

Chia $k$ cho $1$ .

$k = \frac{1}{8}$

Bước 14

Đặt $k^{\frac{1}{3}} + 4$ bằng $0$ và giải tìm $k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Đặt $k^{\frac{1}{3}} + 4$ bằng với $0$ .

$k^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$

Bước 14.2

Giải $k^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$ để tìm $k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$k^{\frac{1}{3}} = - 4$

Bước 14.2.2

Lấy mũ lũy thừa $3$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 4)}^{3}$

Bước 14.2.3

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.3.1.1

Rút gọn ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.3.1.1.1

Nhân các số mũ trong ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.3.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 4)}^{3}$

Bước 14.2.3.1.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.3.1.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 4)}^{3}$

Bước 14.2.3.1.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$k^{1} = {(- 4)}^{3}$

Bước 14.2.3.1.1.2

Rút gọn.

$k = {(- 4)}^{3}$

Bước 14.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.3.2.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $3$ .

$k = - 64$

Bước 15

Đặt $k^{\frac{1}{3}} - 4$ bằng $0$ và giải tìm $k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Đặt $k^{\frac{1}{3}} - 4$ bằng với $0$ .

$k^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

Bước 15.2

Giải $k^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$ để tìm $k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$k^{\frac{1}{3}} = 4$

Bước 15.2.2

Lấy mũ lũy thừa $3$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = 4^{3}$

Bước 15.2.3

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.3.1.1

Rút gọn ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.3.1.1.1

Nhân các số mũ trong ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.3.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 4^{3}$

Bước 15.2.3.1.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.3.1.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 4^{3}$

Bước 15.2.3.1.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$k^{1} = 4^{3}$

Bước 15.2.3.1.1.2

Rút gọn.

$k = 4^{3}$

Bước 15.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.3.2.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$k = 64$

Bước 16

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) (k^{\frac{1}{3}} + 4) (k^{\frac{1}{3}} - 4) = 0$ đúng.

$k = - \frac{1}{8}, \frac{1}{8}, - 64, 64$