Đại số Ví dụ

$\ln (x) = 3 - \ln (x + 2)$

Bước 1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (x) + \ln (x + 2) = 3$

Bước 2

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 2)) = 3$

Bước 3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2) = 3$

Bước 4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 2) = 3$

Bước 4.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\ln (x^{2} + 2 x) = 3$

Bước 5

Để giải tìm $x$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (x^{2} + 2 x)} = e^{3}$

Bước 6

Viết lại $\ln (x^{2} + 2 x) = 3$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{3} = x^{2} + 2 x$

Bước 7

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại phương trình ở dạng $x^{2} + 2 x = e^{3}$ .

$x^{2} + 2 x = e^{3}$

Bước 7.2

Trừ $e^{3}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} + 2 x - e^{3} = 0$

Bước 7.3

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 7.4

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 2$ , và $c = - e^{3}$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- e^{3}))}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 e^{3}}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.3

Viết lại $4 + 4 e^{3}$ ở dạng $2^{2} (1 + e^{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 e^{3}}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.3.2

Đưa $4$ ra ngoài $4 e^{3}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.3.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (1) + 4 (e^{3})$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.3.4

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.4

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + e^{3}}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.5

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{3} + e^{3}}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.6

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức tổng các lập phương, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ với $a = 1$ và $b = e$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1^{2} - 1 e + e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1.7.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1 - 1 e + e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.7.2

Viết lại $- 1 e$ ở dạng $- e$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}}{2}$

Bước 7.5.3

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}$

Bước 7.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - 1 + \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}, - 1 - \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}$

Bước 8

Loại bỏ đáp án không làm cho $\ln (x) = 3 - \ln (x + 2)$ đúng.

$x = - 1 + \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$x = - 1 + \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}$

Dạng thập phân:

$x = 3.59189905 \dots$