Đại số Ví dụ

$\frac{2}{2 x^{2} - x - 1} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 x + 1}$

Bước 1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ và có tổng là $b = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{2}{2 x^{2} - (x) - 1} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 x + 1}$

Bước 1.1.1.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $1$ cộng $- 2$

$\frac{2}{2 x^{2} + (1 - 2) x - 1} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 x + 1}$

Bước 1.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2}{2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 x + 1}$

Bước 1.1.1.4

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + x - 2 x - 1} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 x + 1}$

Bước 1.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{2}{(2 x^{2} + x) - 2 x - 1} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 x + 1}$

Bước 1.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{2}{x (2 x + 1) - (2 x + 1)} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 x + 1}$

Bước 1.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 x + 1$ .

$\frac{2}{(2 x + 1) (x - 1)} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 x + 1}$

Bước 1.2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{2}{(2 x + 1) (x - 1)} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

Bước 1.2.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Bước 1.2.3

Viết lại đa thức này.

$\frac{2}{(2 x + 1) (x - 1)} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Bước 1.2.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{2}{(2 x + 1) (x - 1)} + \frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 2

Để viết $\frac{2}{(2 x + 1) (x - 1)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{2}{(2 x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3

Để viết $\frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{2}{(2 x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Bước 4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(2 x + 1) {(x - 1)}^{2}$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $\frac{2}{(2 x + 1) (x - 1)}$ với $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(2 x + 1) (x - 1) (x - 1)} + \frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Bước 4.2

Nâng $x - 1$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(2 x + 1) ({(x - 1)}^{1} (x - 1))} + \frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Bước 4.3

Nâng $x - 1$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(2 x + 1) ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1})} + \frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Bước 4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 (x - 1)}{(2 x + 1) {(x - 1)}^{1 + 1}} + \frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Bước 4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(2 x + 1) {(x - 1)}^{2}} + \frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Bước 4.6

Nhân $\frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}}$ với $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(2 x + 1) {(x - 1)}^{2}} + \frac{3 x (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Bước 4.7

Sắp xếp lại các thừa số của $(2 x + 1) {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)} + \frac{3 x (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 (x - 1) + 3 x (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 + 3 x (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Bước 6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 + 3 x (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Bước 6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x - 2 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Bước 6.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{2 x - 2 + 3 \cdot 2 x \cdot x + 3 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Bước 6.5

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{2 x - 2 + 3 \cdot 2 x \cdot x + 3 x}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Bước 6.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{2 x - 2 + 3 \cdot 2 (x \cdot x) + 3 x}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Bước 6.6.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{2 x - 2 + 3 \cdot 2 x^{2} + 3 x}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Bước 6.6.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{2 x - 2 + 6 x^{2} + 3 x}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Bước 6.7

Cộng $2 x$ và $3 x$ .

$\frac{5 x - 2 + 6 x^{2}}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Bước 6.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{6 x^{2} + 5 x - 2}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$