Đại số Ví dụ

$f (x) = - \frac{2 x}{x - 1}$

Bước 1

Viết $f (x) = - \frac{2 x}{x - 1}$ ở dạng một phương trình.

$y = - \frac{2 x}{x - 1}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = - \frac{2 y}{y - 1}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân phương trình với $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (- \frac{2 y}{y - 1}) (y - 1)$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn $(y - 1) (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y x - 1 x = (- \frac{2 y}{y - 1}) (y - 1)$

Bước 3.2.1.2

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$y x - x = (- \frac{2 y}{y - 1}) (y - 1)$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{2 y}{y - 1}$ vào tử số.

$y x - x = \frac{- 2 y}{y - 1} (y - 1)$

Bước 3.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y x - x = \frac{- 2 y}{y - 1} (y - 1)$

Bước 3.3.1.3

Viết lại biểu thức.

$y x - x = - 2 y$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Cộng $2 y$ cho cả hai vế của phương trình.

$y x - x + 2 y = 0$

Bước 3.4.2

Cộng $x$ cho cả hai vế của phương trình.

$y x + 2 y = x$

Bước 3.4.3

Đưa $y$ ra ngoài $y x + 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y x$ .

$y (x) + 2 y = x$

Bước 3.4.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $2 y$ .

$y (x) + y \cdot 2 = x$

Bước 3.4.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (x) + y \cdot 2$ .

$y (x + 2) = x$

Bước 3.4.4

Chia mỗi số hạng trong $y (x + 2) = x$ cho $x + 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y (x + 2) = x$ cho $x + 2$ .

$\frac{y (x + 2)}{x + 2} = \frac{x}{x + 2}$

Bước 3.4.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (x + 2)}{x + 2} = \frac{x}{x + 2}$

Bước 3.4.4.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x}{x + 2}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x + 2}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x + 2}$ có là hàm ngược của $f (x) = - \frac{2 x}{x - 1}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- \frac{2 x}{x - 1}}{(- \frac{2 x}{x - 1}) + 2}$

Bước 5.2.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{- \frac{2 x}{x - 1} + 2}$

Bước 5.2.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{- \frac{2 x}{x - 1} + \frac{2 (x - 1)}{x - 1}}$

Bước 5.2.4.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{- 2 x + 2 (x - 1)}{x - 1}}$

Bước 5.2.4.3

Viết lại $\frac{- 2 x + 2 (x - 1)}{x - 1}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x + 2 (x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (- x) + 2 (x - 1)}{x - 1}}$

Bước 5.2.4.3.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- x) + 2 (x - 1)$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (- x + x - 1)}{x - 1}}$

Bước 5.2.4.3.2

Cộng $- x$ và $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (0 - 1)}{x - 1}}$

Bước 5.2.4.3.3

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot - 1}{x - 1}}$

Bước 5.2.4.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{- 2}{x - 1}}$

Bước 5.2.4.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{- \frac{2}{x - 1}}$

Bước 5.2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $1$ và $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{2}{x - 1}}$

Bước 5.2.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot (- \frac{1}{\frac{2}{x - 1}})$

Bước 5.2.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot (- (1 (\frac{x - 1}{2})))$

Bước 5.2.7

Nhân $\frac{x - 1}{2}$ với $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot (- \frac{x - 1}{2})$

Bước 5.2.8

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{2 x}{x - 1}$ vào tử số.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- 2 x}{x - 1} \cdot (- \frac{x - 1}{2})$

Bước 5.2.8.2

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{x - 1}{2}$ vào tử số.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- 2 x}{x - 1} \cdot \frac{- (x - 1)}{2}$

Bước 5.2.8.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{2 (- x)}{x - 1} \cdot \frac{- (x - 1)}{2}$

Bước 5.2.8.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{2 (- x)}{x - 1} \cdot \frac{- (x - 1)}{2}$

Bước 5.2.8.5

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- x}{x - 1} \cdot (- (x - 1))$

Bước 5.2.9

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.9.1

Đưa $x - 1$ ra ngoài $- (x - 1)$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot - 1)$

Bước 5.2.9.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot - 1)$

Bước 5.2.9.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - x \cdot - 1$

Bước 5.2.10

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.10.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = 1 x$

Bước 5.2.10.2

Nhân $x$ với $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{x}{x + 2})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{2 (\frac{x}{x + 2})}{(\frac{x}{x + 2}) - 1}$

Bước 5.3.3

Kết hợp $2$ và $\frac{x}{x + 2}$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x}{x + 2} - 1}$

Bước 5.3.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x}{x + 2} - 1 \cdot \frac{x + 2}{x + 2}}$

Bước 5.3.4.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x}{x + 2} + \frac{- (x + 2)}{x + 2}}$

Bước 5.3.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x - (x + 2)}{x + 2}}$

Bước 5.3.4.4

Viết lại $\frac{x - (x + 2)}{x + 2}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x - x - 1 \cdot 2}{x + 2}}$

Bước 5.3.4.4.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x - x - 2}{x + 2}}$

Bước 5.3.4.4.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{0 - 2}{x + 2}}$

Bước 5.3.4.4.4

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{- 2}{x + 2}}$

Bước 5.3.4.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{- \frac{2}{x + 2}}$

Bước 5.3.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{2 x}{x + 2} \cdot (- \frac{x + 2}{2}))$

Bước 5.3.6

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (- \frac{2 x}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2})$

Bước 5.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.7.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{2 x}{x + 2}$ vào tử số.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{- 2 x}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2})$

Bước 5.3.7.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{2 (- x)}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2})$

Bước 5.3.7.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{2 (- x)}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2})$

Bước 5.3.7.4

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{- x}{x + 2} \cdot (x + 2))$

Bước 5.3.8

Triệt tiêu thừa số chung $x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{- x}{x + 2} \cdot (x + 2))$

Bước 5.3.8.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{x}{x + 2}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x + 2}$ là hàm ngược của $f (x) = - \frac{2 x}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x + 2}$