Đại số Ví dụ

$\frac{- 3 (m^{2} - n^{2})}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Bước 1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = m$ và $b = n$ .

$\frac{- 3 (m + n) (m - n)}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Bước 1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{(3 (m + n)) (m - n)}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Bước 1.3

Nhân $\frac{3 (m + n) (m - n)}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}$ với $\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}$ .

$- (\frac{3 (m + n) (m - n)}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}) + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Bước 1.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Nhân $\frac{3 (m + n) (m - n)}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}$ với $\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}$ .

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{\sqrt{n^{2} + m^{2}} \sqrt{n^{2} + m^{2}}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Bước 1.4.2

Nâng $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}^{1} \sqrt{n^{2} + m^{2}}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Bước 1.4.3

Nâng $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}^{1} {\sqrt{n^{2} + m^{2}}}^{1}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Bước 1.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}^{1 + 1}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Bước 1.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}^{2}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Bước 1.4.6

Viết lại ${\sqrt{n^{2} + m^{2}}}^{2}$ ở dạng $n^{2} + m^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ ở dạng ${(n^{2} + m^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{({(n^{2} + m^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Bước 1.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{(n^{2} + m^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Bước 1.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{(n^{2} + m^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Bước 1.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{(n^{2} + m^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Bước 1.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{(n^{2} + m^{2})}^{1}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Bước 1.4.6.5

Rút gọn.

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{n^{2} + m^{2}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Bước 2

Để viết $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{n^{2} + m^{2}}{n^{2} + m^{2}}$ .

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{n^{2} + m^{2}} + \frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}} (n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ ra ngoài $- 3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}} (n^{2} + m^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Đưa $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ ra ngoài $- 3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 (m + n) (m - n)) + \sqrt{n^{2} + m^{2}} (n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 4.1.2

Đưa $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ ra ngoài $\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 (m + n) (m - n)) + \sqrt{n^{2} + m^{2}} (n^{2} + m^{2})$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 (m + n) (m - n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} ((- 3 m - 3 n) (m - n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 4.3

Khai triển $(- 3 m - 3 n) (m - n)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m (m - n) - 3 n (m - n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 4.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m \cdot m - 3 m (- n) - 3 n (m - n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 4.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m \cdot m - 3 m (- n) - 3 n m - 3 n (- n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 4.4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.1

Nhân $m$ với $m$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.1.1

Di chuyển $m$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 (m \cdot m) - 3 m (- n) - 3 n m - 3 n (- n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 4.4.1.1.2

Nhân $m$ với $m$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} - 3 m (- n) - 3 n m - 3 n (- n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 4.4.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} - 3 \cdot - 1 m n - 3 n m - 3 n (- n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 4.4.1.3

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 3 m n - 3 n m - 3 n (- n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 4.4.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 3 m n - 3 n m - 3 \cdot - 1 n \cdot n + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 4.4.1.5

Nhân $n$ với $n$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.5.1

Di chuyển $n$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 3 m n - 3 n m - 3 \cdot - 1 (n \cdot n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 4.4.1.5.2

Nhân $n$ với $n$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 3 m n - 3 n m - 3 \cdot - 1 n^{2} + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 4.4.1.6

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 3 m n - 3 n m + 3 n^{2} + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 4.4.2

Trừ $3 n m$ khỏi $3 m n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Di chuyển $n$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 3 m n - 3 m n + 3 n^{2} + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 4.4.2.2

Trừ $3 m n$ khỏi $3 m n$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 0 + 3 n^{2} + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 4.4.3

Cộng $- 3 m^{2}$ và $0$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 3 n^{2} + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 4.5

Cộng $- 3 m^{2}$ và $m^{2}$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 2 m^{2} + 3 n^{2} + n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 4.6

Cộng $3 n^{2}$ và $n^{2}$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 2 m^{2} + 4 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 4.7

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 m^{2} + 4 n^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 m^{2}$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (2 (- m^{2}) + 4 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 4.7.2

Đưa $2$ ra ngoài $4 n^{2}$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (2 (- m^{2}) + 2 (2 n^{2}))}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 4.7.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- m^{2}) + 2 (2 n^{2})$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (2 (- m^{2} + 2 n^{2}))}{n^{2} + m^{2}}$

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} \cdot 2 (- m^{2} + 2 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot \sqrt{n^{2} + m^{2}} (- m^{2} + 2 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 5.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- m^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{n^{2} + m^{2}} (- (m^{2}) + 2 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 5.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $2 n^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{n^{2} + m^{2}} (- (m^{2}) - (- 2 n^{2}))}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 5.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (m^{2}) - (- 2 n^{2})$ .

$\frac{2 \sqrt{n^{2} + m^{2}} (- (m^{2} - 2 n^{2}))}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 5.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Viết lại $- (m^{2} - 2 n^{2})$ ở dạng $- 1 (m^{2} - 2 n^{2})$ .

$\frac{2 \sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 1 (m^{2} - 2 n^{2}))}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 5.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{(2 \sqrt{n^{2} + m^{2}}) (m^{2} - 2 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Bước 5.5.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{(2 \sqrt{n^{2} + m^{2}}) (m^{2} - 2 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{n^{2} + m^{2}} (m^{2} - 2 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$