Đại số Ví dụ

$f (x) = x + \sqrt{x}$

Bước 1

Viết $f (x) = x + \sqrt{x}$ ở dạng một phương trình.

$y = x + \sqrt{x}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = y + \sqrt{y}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $y + \sqrt{y} = x$ .

$y + \sqrt{y} = x$

Bước 3.2

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sqrt{y} = x - y$

Bước 3.3

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Bước 3.4

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Rút gọn ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Bước 3.4.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Bước 3.4.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{1} = {(x - y)}^{2}$

Bước 3.4.2.1.2

Rút gọn.

$y = {(x - y)}^{2}$

Bước 3.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Rút gọn ${(x - y)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.1

Viết lại ${(x - y)}^{2}$ ở dạng $(x - y) (x - y)$ .

$y = (x - y) (x - y)$

Bước 3.4.3.1.2

Khai triển $(x - y) (x - y)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = x (x - y) - y (x - y)$

Bước 3.4.3.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = x \cdot x + x (- y) - y (x - y)$

Bước 3.4.3.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)$

Bước 3.4.3.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$y = x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)$

Bước 3.4.3.1.3.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = x^{2} - x y - y x - y (- y)$

Bước 3.4.3.1.3.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y$

Bước 3.4.3.1.3.1.4

Nhân $y$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.3.1.4.1

Di chuyển $y$ .

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)$

Bước 3.4.3.1.3.1.4.2

Nhân $y$ với $y$ .

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}$

Bước 3.4.3.1.3.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y = x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}$

Bước 3.4.3.1.3.1.6

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$y = x^{2} - x y - y x + y^{2}$

Bước 3.4.3.1.3.2

Trừ $y x$ khỏi $- x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.3.2.1

Di chuyển $y$ .

$y = x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}$

Bước 3.4.3.1.3.2.2

Trừ $x y$ khỏi $- x y$ .

$y = x^{2} - 2 x y + y^{2}$

Bước 3.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Vì $y$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = y$

Bước 3.5.2

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - y = 0$

Bước 3.5.3

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.5.4

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 2 x - 1$ , và $c = x^{2}$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{- (- 2 x - 1) \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.5.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.5.1.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.5.1.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.5.1.4

Viết lại $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ ở dạng ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.5.1.5

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = - 2 x - 1$ và $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.5.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.5.1.6.1

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.5.1.6.2

Cộng $- 2 x$ và $2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.5.1.6.3

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.5.1.6.4

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.5.1.6.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.5.1.6.6

Trừ $2 x$ khỏi $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Bước 3.5.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.6.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.4

Viết lại $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ ở dạng ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.5

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.6.1.6.1

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.6.2

Cộng $- 2 x$ và $2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.6.3

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.6.4

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.6.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.1.6.6

Trừ $2 x$ khỏi $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.6.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Bước 3.5.6.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Bước 3.5.7

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.4

Viết lại $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ ở dạng ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.5

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.1.6.1

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.6.2

Cộng $- 2 x$ và $2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.6.3

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.6.4

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.6.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.1.6.6

Trừ $2 x$ khỏi $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.7.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Bước 3.5.7.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Bước 3.5.8

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ có là hàm ngược của $f (x) = x + \sqrt{x}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tập xác định của hàm ngược là khoảng biến thiên của hàm số ban đầu và ngược lại. Tìm tập xác định và khoảng biến thiên của $f (x) = x + \sqrt{x}$ và $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ rồi so sánh.

Bước 5.2

Tìm miền giá trị của $f (x) = x + \sqrt{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$[0, \infty)$

Bước 5.3

Tìm tập xác định của $\frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$

Bước 5.3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Chia mỗi số hạng trong $- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$ cho $- 1$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- 1 (- 4 x - 1)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Bước 5.3.2.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{- 4 x - 1}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Bước 5.3.2.1.2.2

Chia $- 4 x - 1$ cho $1$ .

$- 4 x - 1 \leq \frac{0}{- 1}$

Bước 5.3.2.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.3.1

Chia $0$ cho $- 1$ .

$- 4 x - 1 \leq 0$

Bước 5.3.2.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của bất đẳng thức.

$- 4 x \leq 1$

Bước 5.3.2.3

Chia mỗi số hạng trong $- 4 x \leq 1$ cho $- 4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- 4 x \leq 1$ cho $- 4$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- 4 x}{- 4} \geq \frac{1}{- 4}$

Bước 5.3.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 4 x}{- 4} \geq \frac{1}{- 4}$

Bước 5.3.2.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x \geq \frac{1}{- 4}$

Bước 5.3.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x \geq - \frac{1}{4}$

Bước 5.3.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

Bước 5.4

Vì tập xác định của $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ không bằng khoảng biến thiên của $f (x) = x + \sqrt{x}$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ không phải là hàm ngược của $f (x) = x + \sqrt{x}$ .

Không có hàm ngược

Bước 6