Đại số Ví dụ

$(\frac{a - 1}{3 a + {(a - 1)}^{2}} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \div \frac{a^{2} + 1}{a - 1}$

Bước 1

Để chia một phân số, hãy nhân với nghịch đảo của nó.

$(\frac{a - 1}{3 a + {(a - 1)}^{2}} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Viết lại ${(a - 1)}^{2}$ ở dạng $(a - 1) (a - 1)$ .

$(\frac{a - 1}{3 a + (a - 1) (a - 1)} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 2.1.2

Khai triển $(a - 1) (a - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(\frac{a - 1}{3 a + a (a - 1) - 1 (a - 1)} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 2.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(\frac{a - 1}{3 a + a \cdot a + a \cdot - 1 - 1 (a - 1)} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 2.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(\frac{a - 1}{3 a + a \cdot a + a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 2.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1.1

Nhân $a$ với $a$ .

$(\frac{a - 1}{3 a + a^{2} + a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 2.1.3.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $a$ .

$(\frac{a - 1}{3 a + a^{2} - 1 \cdot a - 1 a - 1 \cdot - 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 2.1.3.1.3

Viết lại $- 1 a$ ở dạng $- a$ .

$(\frac{a - 1}{3 a + a^{2} - a - 1 a - 1 \cdot - 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 2.1.3.1.4

Viết lại $- 1 a$ ở dạng $- a$ .

$(\frac{a - 1}{3 a + a^{2} - a - a - 1 \cdot - 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 2.1.3.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$(\frac{a - 1}{3 a + a^{2} - a - a + 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 2.1.3.2

Trừ $a$ khỏi $- a$ .

$(\frac{a - 1}{3 a + a^{2} - 2 a + 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 2.1.4

Trừ $2 a$ khỏi $3 a$ .

$(\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$(\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1^{3}} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 2.2.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = a$ và $b = 1$ .

$(\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Nhân $a$ với $1$ .

$(\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1^{2})} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 2.2.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 3

Để viết $\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$(\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1} \cdot \frac{a - 1}{a - 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(a^{2} + a + 1) (a - 1)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1}$ với $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$(\frac{(a - 1) (a - 1)}{(a^{2} + a + 1) (a - 1)} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại các thừa số của $(a^{2} + a + 1) (a - 1)$ .

$(\frac{(a - 1) (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$(\frac{(a - 1) (a - 1) - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Khai triển $(a - 1) (a - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(\frac{a (a - 1) - 1 (a - 1) - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 6.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(\frac{a \cdot a + a \cdot - 1 - 1 (a - 1) - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 6.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(\frac{a \cdot a + a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1 - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 6.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nhân $a$ với $a$ .

$(\frac{a^{2} + a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1 - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 6.2.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $a$ .

$(\frac{a^{2} - 1 \cdot a - 1 a - 1 \cdot - 1 - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 6.2.1.3

Viết lại $- 1 a$ ở dạng $- a$ .

$(\frac{a^{2} - a - 1 a - 1 \cdot - 1 - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 6.2.1.4

Viết lại $- 1 a$ ở dạng $- a$ .

$(\frac{a^{2} - a - a - 1 \cdot - 1 - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 6.2.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$(\frac{a^{2} - a - a + 1 - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 6.2.2

Trừ $a$ khỏi $- a$ .

$(\frac{a^{2} - 2 a + 1 - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(\frac{a^{2} - 2 a + 1 - 1 \cdot 1 - (- 3 a) - a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 6.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$(\frac{a^{2} - 2 a + 1 - 1 - (- 3 a) - a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 6.4.2

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$(\frac{a^{2} - 2 a + 1 - 1 + 3 a - a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 6.5

Trừ $a^{2}$ khỏi $a^{2}$ .

$(\frac{- 2 a + 1 - 1 + 3 a + 0}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 6.6

Cộng $- 2 a + 1 - 1 + 3 a$ và $0$ .

$(\frac{- 2 a + 1 - 1 + 3 a}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 6.7

Cộng $- 2 a$ và $3 a$ .

$(\frac{a + 1 - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 6.8

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$(\frac{a + 0}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 6.9

Cộng $a$ và $0$ .

$(\frac{a}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 7

Để viết $- \frac{1}{a - 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{a^{2} + a + 1}{a^{2} + a + 1}$ .

$(\frac{a}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1} \cdot \frac{a^{2} + a + 1}{a^{2} + a + 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 8

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $\frac{1}{a - 1}$ với $\frac{a^{2} + a + 1}{a^{2} + a + 1}$ .

$(\frac{a}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{a^{2} + a + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 8.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{a - (a^{2} + a + 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{a - a^{2} - a - 1 \cdot 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 9.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{a - a^{2} - a - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 9.3

Trừ $a$ khỏi $a$ .

$\frac{- a^{2} + 0 - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 9.4

Cộng $- a^{2}$ và $0$ .

$\frac{- a^{2} - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 10

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Triệt tiêu thừa số chung $a - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- a^{2} - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Bước 10.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- a^{2} - 1}{a^{2} + a + 1} \cdot \frac{1}{a^{2} + 1}$

Bước 10.2

Nhân $\frac{- a^{2} - 1}{a^{2} + a + 1}$ với $\frac{1}{a^{2} + 1}$ .

$\frac{- a^{2} - 1}{(a^{2} + a + 1) (a^{2} + 1)}$

Bước 10.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- a^{2} - 1$ và $a^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- a^{2}$ .

$\frac{- (a^{2}) - 1}{(a^{2} + a + 1) (a^{2} + 1)}$

Bước 10.3.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{- (a^{2}) - 1 (1)}{(a^{2} + a + 1) (a^{2} + 1)}$

Bước 10.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (a^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (a^{2} + 1)}{(a^{2} + a + 1) (a^{2} + 1)}$

Bước 10.3.4

Viết lại $- (a^{2} + 1)$ ở dạng $- 1 (a^{2} + 1)$ .

$\frac{- 1 (a^{2} + 1)}{(a^{2} + a + 1) (a^{2} + 1)}$

Bước 10.3.5

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1 (a^{2} + 1)}{(a^{2} + a + 1) (a^{2} + 1)}$

Bước 10.3.6

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{a^{2} + a + 1}$

Bước 10.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{a^{2} + a + 1}$