Đại số Ví dụ

$\log (x + y) = \frac{1}{2} (\log (x) + \log (y)) + \log (2)$

Bước 1

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\log (x + y) = \frac{1}{2} \log (x) + \frac{1}{2} \log (y) + \log (2)$

Bước 1.1.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\log (x)$ .

$\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{1}{2} \log (y) + \log (2)$

Bước 1.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\log (y)$ .

$\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng trong $\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$ với $2$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân mỗi số hạng trong $\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$ với $2$ .

$\log (x + y) \cdot 2 = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Bước 2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\log (x + y)$ .

$2 \log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Bước 2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Bước 2.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$2 \log (x + y) = \log (x) + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Bước 2.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \log (x + y) = \log (x) + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Bước 2.3.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$2 \log (x + y) = \log (x) + \log (y) + \log (2) \cdot 2$

Bước 2.3.1.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\log (2)$ .

$2 \log (x + y) = \log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$

Bước 3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn $2 \log (x + y)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$

Bước 4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn $\log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + 2 \log (2)$

Bước 4.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn $2 \log (2)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + \log (2^{2})$

Bước 4.1.2.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + \log (4)$

Bước 4.1.3

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y \cdot 4)$

Bước 4.1.4

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x y$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (4 x y)$

Bước 5

Để cân bằng phương trình, đối số của logarit trên cả hai vế của phương trình phải cân bằng.

${(x + y)}^{2} = 4 x y$

Bước 6

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Trừ $4 x y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

${(x + y)}^{2} - 4 x y = 0$

Bước 6.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Viết lại ${(x + y)}^{2}$ ở dạng $(x + y) (x + y)$ .

$(x + y) (x + y) - 4 x y = 0$

Bước 6.1.2.2

Khai triển $(x + y) (x + y)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (x + y) + y (x + y) - 4 x y = 0$

Bước 6.1.2.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x \cdot x + x y + y (x + y) - 4 x y = 0$

Bước 6.1.2.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x \cdot x + x y + y x + y \cdot y - 4 x y = 0$

Bước 6.1.2.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} + x y + y x + y \cdot y - 4 x y = 0$

Bước 6.1.2.3.1.2

Nhân $y$ với $y$ .

$x^{2} + x y + y x + y^{2} - 4 x y = 0$

Bước 6.1.2.3.2

Cộng $x y$ và $y x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.3.2.1

Sắp xếp lại $y$ và $x$ .

$x^{2} + x y + x y + y^{2} - 4 x y = 0$

Bước 6.1.2.3.2.2

Cộng $x y$ và $x y$ .

$x^{2} + 2 x y + y^{2} - 4 x y = 0$

Bước 6.1.3

Trừ $4 x y$ khỏi $2 x y$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 x y = 0$

Bước 6.2

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 6.3

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 2 y$ , và $c = y^{2}$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot y^{2})}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1

Viết lại $4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ ở dạng ${(2 \cdot 1 y)}^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot (1 y))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.4.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = - 2 y$ và $b = 2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.4.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.3.1

Đưa $2 y$ ra ngoài $- 2 y + 2 \cdot 1 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.3.1.1

Đưa $2 y$ ra ngoài $- 2 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.4.1.3.1.2

Đưa $2 y$ ra ngoài $2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 y (1)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.4.1.3.1.3

Đưa $2 y$ ra ngoài $2 y (- 1) + 2 y (1)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y (- 1 + 1) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.4.1.3.2

Cộng $- 1$ và $1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y \cdot (0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y))))}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.4.1.3.3

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.3.3.1

Nhân $0$ với $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.4.1.3.3.2

Nhân $0$ với $y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.4.1.3.4

Đưa $y$ ra ngoài $- 2 y - 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.3.4.1

Đưa $y$ ra ngoài $- 2 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 - 1 \cdot 2 \cdot (1 y))}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.4.1.3.4.2

Đưa $y$ ra ngoài $- 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.4.1.3.4.3

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.4.1.3.5

Nhân $- 1 \cdot 2 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.3.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.4.1.3.5.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2))}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.4.1.3.6

Trừ $2$ khỏi $- 2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.4.1.3.7

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.3.7.1

Nhân $0$ với $y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.4.1.3.7.2

Nhân $0$ với $- 4$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.4.1.4

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.4.1.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \frac{2 y \pm 0}{2 \cdot 1}$

Bước 6.4.1.6

$2 y$ cộng hoặc trừ $0$ được $2 y$ .

$x = \frac{2 y}{2 \cdot 1}$

Bước 6.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{2 y}{2}$

Bước 6.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{2 y}{2}$

Bước 6.4.3.2

Chia $y$ cho $1$ .

$x = y$

Bước 6.5

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = y$ Nghiệm kép