Đại số Ví dụ

$\log_{12} (n + 14) + \frac{1}{2} \cdot \log_{12} (4 n^{2}) = 2$

Bước 1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\log_{12} (4 n^{2})$ .

$\log_{12} (n + 14) + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Bước 2

Để viết $\log_{12} (n + 14)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\log_{12} (n + 14) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Bước 3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\log_{12} (n + 14)$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\log_{12} (n + 14) \cdot 2}{2} + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Bước 3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\log_{12} (n + 14) \cdot 2 + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Bước 4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\log_{12} (n + 14)$ .

$\frac{2 \log_{12} (n + 14) + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Bước 5

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn $\frac{2 \log_{12} (n + 14) + \log_{12} (4 n^{2})}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Rút gọn $2 \log_{12} (n + 14)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{\log_{12} ({(n + 14)}^{2}) + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Bước 5.1.1.2

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log_{12} ({(n + 14)}^{2} (4 n^{2}))}{2} = 2$

Bước 5.1.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}{2} = 2$

Bước 5.1.2

Viết lại $\frac{\log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}{2}$ ở dạng $\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})$ .

$\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2}) = 2$

Bước 5.1.3

Rút gọn $\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$\log_{12} ({(4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Bước 5.1.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 {(n + 14)}^{2} n^{2}$ .

$\log_{12} ({(4 {(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Bước 5.1.4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 {(n + 14)}^{2}$ .

$\log_{12} (4^{\frac{1}{2}} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Bước 5.1.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.5.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\log_{12} ({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Bước 5.1.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{12} (2^{2 (\frac{1}{2})} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Bước 5.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\log_{12} (2^{2 (\frac{1}{2})} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Bước 5.1.6.2

Viết lại biểu thức.

$\log_{12} (2^{1} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Bước 5.1.7

Tính số mũ.

$\log_{12} (2 {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Bước 5.1.8

Nhân các số mũ trong ${({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.8.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{2 (\frac{1}{2})} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Bước 5.1.8.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{2 (\frac{1}{2})} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Bước 5.1.8.2.2

Viết lại biểu thức.

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{1} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Bước 5.1.9

Rút gọn.

$\log_{12} (2 (n + 14) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Bước 5.1.10

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\log_{12} ((2 n + 2 \cdot 14) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Bước 5.1.11

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.11.1

Nhân $2$ với $14$ .

$\log_{12} ((2 n + 28) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Bước 5.1.11.2

Nhân các số mũ trong ${(n^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.11.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{2 (\frac{1}{2})}) = 2$

Bước 5.1.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.11.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{2 (\frac{1}{2})}) = 2$

Bước 5.1.11.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{1}) = 2$

Bước 5.1.12

Rút gọn.

$\log_{12} ((2 n + 28) n) = 2$

Bước 5.1.13

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\log_{12} (2 n \cdot n + 28 n) = 2$

Bước 5.1.14

Nhân $n$ với $n$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.14.1

Di chuyển $n$ .

$\log_{12} (2 (n \cdot n) + 28 n) = 2$

Bước 5.1.14.2

Nhân $n$ với $n$ .

$\log_{12} (2 n^{2} + 28 n) = 2$

Bước 6

Viết lại $\log_{12} (2 n^{2} + 28 n) = 2$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$12^{2} = 2 n^{2} + 28 n$

Bước 7

Giải tìm $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 n^{2} + 28 n = 12^{2}$ .

$2 n^{2} + 28 n = 12^{2}$

Bước 7.2

Nâng $12$ lên lũy thừa $2$ .

$2 n^{2} + 28 n = 144$

Bước 7.3

Trừ $144$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 n^{2} + 28 n - 144 = 0$

Bước 7.4

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 n^{2} + 28 n - 144$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 n^{2}$ .

$2 (n^{2}) + 28 n - 144 = 0$

Bước 7.4.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $28 n$ .

$2 (n^{2}) + 2 (14 n) - 144 = 0$

Bước 7.4.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 144$ .

$2 n^{2} + 2 (14 n) + 2 \cdot - 72 = 0$

Bước 7.4.1.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 n^{2} + 2 (14 n)$ .

$2 (n^{2} + 14 n) + 2 \cdot - 72 = 0$

Bước 7.4.1.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (n^{2} + 14 n) + 2 \cdot - 72$ .

$2 (n^{2} + 14 n - 72) = 0$

Bước 7.4.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.1

Phân tích $n^{2} + 14 n - 72$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 72$ và tổng của chúng là $14$ .

$- 4, 18$

Bước 7.4.2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$2 ((n - 4) (n + 18)) = 0$

Bước 7.4.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$2 (n - 4) (n + 18) = 0$

Bước 7.5

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$n - 4 = 0$

$n + 18 = 0$

Bước 7.6

Đặt $n - 4$ bằng $0$ và giải tìm $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Đặt $n - 4$ bằng với $0$ .

$n - 4 = 0$

Bước 7.6.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$n = 4$

Bước 7.7

Đặt $n + 18$ bằng $0$ và giải tìm $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.1

Đặt $n + 18$ bằng với $0$ .

$n + 18 = 0$

Bước 7.7.2

Trừ $18$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$n = - 18$

Bước 7.8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $2 (n - 4) (n + 18) = 0$ đúng.

$n = 4, - 18$

Bước 8

Loại bỏ đáp án không làm cho $\log_{12} (n + 14) + \frac{1}{2} \cdot \log_{12} (4 n^{2}) = 2$ đúng.

$n = 4$