Đại số Ví dụ

$3^{x + 2} + 3^{1 - x} > 28$

Bước 1

Viết lại $3^{x + 2}$ ở dạng $3^{x} \cdot 3^{2}$ .

$3^{x} \cdot 3^{2} + 3^{1 - x} = 28$

Bước 2

Viết lại $3^{1 - x}$ ở dạng $3^{1} \cdot 3^{- x}$ .

$3^{x} \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3^{- x} = 28$

Bước 3

Viết lại $3^{- x}$ dưới dạng số mũ.

$3^{x} \cdot 3^{2} + 3 \cdot {(3^{x})}^{- 1} = 28$

Bước 4

Thay $u$ bằng $3^{x}$ .

$u \cdot 3^{2} + 3 \cdot u^{- 1} = 28$

Bước 5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$u \cdot 9 + 3 \cdot u^{- 1} = 28$

Bước 5.2

Di chuyển $9$ sang phía bên trái của $u$ .

$9 u + 3 \cdot u^{- 1} = 28$

Bước 5.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 u + 3 \cdot \frac{1}{u} = 28$

Bước 5.4

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{u}$ .

$9 u + \frac{3}{u} = 28$

Bước 6

Giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$1, u, 1$

Bước 6.1.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$u$

Bước 6.2

Nhân mỗi số hạng trong $9 u + \frac{3}{u} = 28$ với $u$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $9 u + \frac{3}{u} = 28$ với $u$ .

$9 u \cdot u + \frac{3}{u} u = 28 u$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Nhân $u$ với $u$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.1

Di chuyển $u$ .

$9 (u \cdot u) + \frac{3}{u} u = 28 u$

Bước 6.2.2.1.1.2

Nhân $u$ với $u$ .

$9 u^{2} + \frac{3}{u} u = 28 u$

Bước 6.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$9 u^{2} + \frac{3}{u} u = 28 u$

Bước 6.2.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$9 u^{2} + 3 = 28 u$

Bước 6.3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Trừ $28 u$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$9 u^{2} + 3 - 28 u = 0$

Bước 6.3.2

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$9 u^{2} - 28 u + 3 = 0$

Bước 6.3.2.2

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 9 \cdot 3 = 27$ và có tổng là $b = - 28$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1

Đưa $- 28$ ra ngoài $- 28 u$ .

$9 u^{2} - 28 u + 3 = 0$

Bước 6.3.2.2.2

Viết lại $- 28$ ở dạng $- 1$ cộng $- 27$

$9 u^{2} + (- 1 - 27) u + 3 = 0$

Bước 6.3.2.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$9 u^{2} - 1 u - 27 u + 3 = 0$

Bước 6.3.2.3

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.3.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$(9 u^{2} - 1 u) - 27 u + 3 = 0$

Bước 6.3.2.3.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$u (9 u - 1) - 3 (9 u - 1) = 0$

Bước 6.3.2.4

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $9 u - 1$ .

$(9 u - 1) (u - 3) = 0$

Bước 6.3.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$9 u - 1 = 0$

$u - 3 = 0$

Bước 6.3.4

Đặt $9 u - 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.1

Đặt $9 u - 1$ bằng với $0$ .

$9 u - 1 = 0$

Bước 6.3.4.2

Giải $9 u - 1 = 0$ để tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$9 u = 1$

Bước 6.3.4.2.2

Chia mỗi số hạng trong $9 u = 1$ cho $9$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $9 u = 1$ cho $9$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Bước 6.3.4.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Bước 6.3.4.2.2.2.1.2

Chia $u$ cho $1$ .

$u = \frac{1}{9}$

Bước 6.3.5

Đặt $u - 3$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.1

Đặt $u - 3$ bằng với $0$ .

$u - 3 = 0$

Bước 6.3.5.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 3$

Bước 6.3.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(9 u - 1) (u - 3) = 0$ đúng.

$u = \frac{1}{9}, 3$

Bước 7

Thay $\frac{1}{9}$ cho $u$ trong $u = 3^{x}$ .

$\frac{1}{9} = 3^{x}$

Bước 8

Giải $\frac{1}{9} = 3^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại phương trình ở dạng $3^{x} = \frac{1}{9}$ .

$3^{x} = \frac{1}{9}$

Bước 8.2

Nâng $9$ lên lũy thừa $1$ .

$3^{x} = \frac{1}{9^{1}}$

Bước 8.3

Di chuyển $9^{1}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$3^{x} = 9^{- 1}$

Bước 8.4

Tạo các biểu thức tương ứng trong phương trình sao cho tất cả đều có cơ số bằng nhau.

$3^{x} = 3^{- 2}$

Bước 8.5

Vì các cơ số giống nhau, nên hai biểu thức chỉ bằng nhau khi các số mũ cũng bằng nhau.

$x = - 2$

Bước 9

Thay $3$ cho $u$ trong $u = 3^{x}$ .

$3 = 3^{x}$

Bước 10

Giải $3 = 3^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại phương trình ở dạng $3^{x} = 3$ .

$3^{x} = 3$

Bước 10.2

Tạo các biểu thức tương ứng trong phương trình sao cho tất cả đều có cơ số bằng nhau.

$3^{x} = 3^{1}$

Bước 10.3

Vì các cơ số giống nhau, nên hai biểu thức chỉ bằng nhau khi các số mũ cũng bằng nhau.

$x = 1$

Bước 11

Liệt kê các đáp án và làm cho phương trình đúng.

$x = - 2, 1$

Bước 12

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$x > 1$

Bước 13

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 4$

Bước 13.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$3^{(- 4) + 2} + 3^{1 - (- 4)} > 28$

Bước 13.1.3

Vế trái $243.\overline{1}$ lớn hơn vế phải $28$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 13.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 2 < x < 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 2 < x < 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 13.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$3^{(0) + 2} + 3^{1 - (0)} > 28$

Bước 13.2.3

Vế trái $12$ không lớn hơn vế phải $28$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 13.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 13.3.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$3^{(4) + 2} + 3^{1 - (4)} > 28$

Bước 13.3.3

Vế trái $729.\overline{037}$ lớn hơn vế phải $28$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 13.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 2$ Đúng

$- 2 < x < 1$ Sai

$x > 1$ Đúng

$x < - 2$ Đúng

$- 2 < x < 1$ Sai

$x > 1$ Đúng

Bước 14

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x < - 2$ hoặc $x > 1$

Bước 15

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng bất đẳng thức:

$x < - 2 or x > 1$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - 2) \cup (1, \infty)$

Bước 16