Đại số Ví dụ

${(1 + i)}^{5} {(1 - i)}^{5}$

Bước 1

Sử dụng định lý nhị thức.

$(1^{5} + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(1 + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Bước 2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(1 + 5 \cdot 1 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Bước 2.1.3

Nhân $5$ với $1$ .

$(1 + 5 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Bước 2.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(1 + 5 i + 10 \cdot 1 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Bước 2.1.5

Nhân $10$ với $1$ .

$(1 + 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Bước 2.1.6

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$(1 + 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Bước 2.1.7

Nhân $10$ với $- 1$ .

$(1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Bước 2.1.8

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Bước 2.1.9

Nhân $10$ với $1$ .

$(1 + 5 i - 10 + 10 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Bước 2.1.10

Đưa $i^{2}$ ra ngoài.

$(1 + 5 i - 10 + 10 (i^{2} \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Bước 2.1.11

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$(1 + 5 i - 10 + 10 (- 1 \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Bước 2.1.12

Viết lại $- 1 i$ ở dạng $- i$ .

$(1 + 5 i - 10 + 10 (- i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Bước 2.1.13

Nhân $- 1$ với $10$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Bước 2.1.14

Nhân $5$ với $1$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Bước 2.1.15

Viết lại $i^{4}$ ở dạng $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.15.1

Viết lại $i^{4}$ ở dạng ${(i^{2})}^{2}$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Bước 2.1.15.2

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Bước 2.1.15.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Bước 2.1.16

Nhân $5$ với $1$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Bước 2.1.17

Đưa $i^{4}$ ra ngoài.

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{4} i) {(1 - i)}^{5}$

Bước 2.1.18

Viết lại $i^{4}$ ở dạng $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.18.1

Viết lại $i^{4}$ ở dạng ${(i^{2})}^{2}$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(i^{2})}^{2} i) {(1 - i)}^{5}$

Bước 2.1.18.2

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(- 1)}^{2} i) {(1 - i)}^{5}$

Bước 2.1.18.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + 1 i) {(1 - i)}^{5}$

Bước 2.1.19

Nhân $i$ với $1$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i) {(1 - i)}^{5}$

Bước 2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Trừ $10$ khỏi $1$ .

$(- 9 + 5 i - 10 i + 5 + i) {(1 - i)}^{5}$

Bước 2.2.2

Cộng $- 9$ và $5$ .

$(- 4 + 5 i - 10 i + i) {(1 - i)}^{5}$

Bước 2.2.3

Trừ $10 i$ khỏi $5 i$ .

$(- 4 - 5 i + i) {(1 - i)}^{5}$

Bước 2.2.4

Cộng $- 5 i$ và $i$ .

$(- 4 - 4 i) {(1 - i)}^{5}$

Bước 3

Sử dụng định lý nhị thức.

$(- 4 - 4 i) (1^{5} + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Bước 4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(- 4 - 4 i) (1 + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Bước 4.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(- 4 - 4 i) (1 + 5 \cdot 1 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Bước 4.1.3

Nhân $5$ với $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 + 5 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Bước 4.1.4

Nhân $- 1$ với $5$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Bước 4.1.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 \cdot 1 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Bước 4.1.6

Nhân $10$ với $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Bước 4.1.7

Áp dụng quy tắc tích số cho $- i$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Bước 4.1.8

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 (1 i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Bước 4.1.9

Nhân $i^{2}$ với $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Bước 4.1.10

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Bước 4.1.11

Nhân $10$ với $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Bước 4.1.12

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Bước 4.1.13

Nhân $10$ với $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Bước 4.1.14

Áp dụng quy tắc tích số cho $- i$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Bước 4.1.15

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (- i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Bước 4.1.16

Đưa $i^{2}$ ra ngoài.

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (- (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Bước 4.1.17

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (- (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Bước 4.1.18

Viết lại $- 1 i$ ở dạng $- i$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (- - i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Bước 4.1.19

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (1 i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Bước 4.1.20

Nhân $i$ với $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Bước 4.1.21

Nhân $5$ với $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Bước 4.1.22

Áp dụng quy tắc tích số cho $- i$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 ({(- 1)}^{4} i^{4}) + {(- i)}^{5})$

Bước 4.1.23

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $4$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 (1 i^{4}) + {(- i)}^{5})$

Bước 4.1.24

Nhân $i^{4}$ với $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 i^{4} + {(- i)}^{5})$

Bước 4.1.25

Viết lại $i^{4}$ ở dạng $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.25.1

Viết lại $i^{4}$ ở dạng ${(i^{2})}^{2}$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + {(- i)}^{5})$

Bước 4.1.25.2

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + {(- i)}^{5})$

Bước 4.1.25.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 + {(- i)}^{5})$

Bước 4.1.26

Nhân $5$ với $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- i)}^{5})$

Bước 4.1.27

Áp dụng quy tắc tích số cho $- i$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- 1)}^{5} i^{5})$

Bước 4.1.28

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $5$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i^{5})$

Bước 4.1.29

Đưa $i^{4}$ ra ngoài.

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (i^{4} i))$

Bước 4.1.30

Viết lại $i^{4}$ ở dạng $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.30.1

Viết lại $i^{4}$ ở dạng ${(i^{2})}^{2}$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(i^{2})}^{2} i))$

Bước 4.1.30.2

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(- 1)}^{2} i))$

Bước 4.1.30.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (1 i))$

Bước 4.1.31

Nhân $i$ với $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i)$

Bước 4.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Trừ $10$ khỏi $1$ .

$(- 4 - 4 i) (- 9 - 5 i + 10 i + 5 - i)$

Bước 4.2.2

Cộng $- 9$ và $5$ .

$(- 4 - 4 i) (- 4 - 5 i + 10 i - i)$

Bước 4.2.3

Cộng $- 5 i$ và $10 i$ .

$(- 4 - 4 i) (- 4 + 5 i - i)$

Bước 4.2.4

Trừ $i$ khỏi $5 i$ .

$(- 4 - 4 i) (- 4 + 4 i)$

Bước 5

Khai triển $(- 4 - 4 i) (- 4 + 4 i)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 4 (- 4 + 4 i) - 4 i (- 4 + 4 i)$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 4 \cdot - 4 - 4 (4 i) - 4 i (- 4 + 4 i)$

Bước 5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 4 \cdot - 4 - 4 (4 i) - 4 i \cdot - 4 - 4 i (4 i)$

Bước 6

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Nhân $- 4$ với $- 4$ .

$16 - 4 (4 i) - 4 i \cdot - 4 - 4 i (4 i)$

Bước 6.1.2

Nhân $4$ với $- 4$ .

$16 - 16 i - 4 i \cdot - 4 - 4 i (4 i)$

Bước 6.1.3

Nhân $- 4$ với $- 4$ .

$16 - 16 i + 16 i - 4 i (4 i)$

Bước 6.1.4

Nhân $- 4 i (4 i)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.1

Nhân $4$ với $- 4$ .

$16 - 16 i + 16 i - 16 i i$

Bước 6.1.4.2

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$16 - 16 i + 16 i - 16 (i^{1} i)$

Bước 6.1.4.3

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$16 - 16 i + 16 i - 16 (i^{1} i^{1})$

Bước 6.1.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$16 - 16 i + 16 i - 16 i^{1 + 1}$

Bước 6.1.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$16 - 16 i + 16 i - 16 i^{2}$

Bước 6.1.5

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$16 - 16 i + 16 i - 16 \cdot - 1$

Bước 6.1.6

Nhân $- 16$ với $- 1$ .

$16 - 16 i + 16 i + 16$

Bước 6.2

Cộng $16$ và $16$ .

$32 - 16 i + 16 i$

Bước 6.3

Cộng $- 16 i$ và $16 i$ .

$32 + 0$

Bước 6.4

Cộng $32$ và $0$ .

$32$