Đại số Ví dụ

$v (R) = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}$

Bước 1

Viết $v (R) = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}$ ở dạng một phương trình.

$y = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$G = \sqrt{\frac{2 y M}{R}}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\sqrt{\frac{2 y M}{R}} = G$ .

$\sqrt{\frac{2 y M}{R}} = G$

Bước 3.2

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{\frac{2 y M}{R}}}^{2} = G^{2}$

Bước 3.3

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{\frac{2 y M}{R}}$ ở dạng ${(\frac{2 y M}{R})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{2 y M}{R})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = G^{2}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn ${({(\frac{2 y M}{R})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(\frac{2 y M}{R})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 y M}{R})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = G^{2}$

Bước 3.3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(\frac{2 y M}{R})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = G^{2}$

Bước 3.3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(\frac{2 y M}{R})}^{1} = G^{2}$

Bước 3.3.2.1.2

Rút gọn.

$\frac{2 y M}{R} = G^{2}$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Nhân cả hai vế với $R$ .

$\frac{2 y M}{R} R = G^{2} R$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $R$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y M}{R} R = G^{2} R$

Bước 3.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$2 y M = G^{2} R$

Bước 3.4.3

Chia mỗi số hạng trong $2 y M = G^{2} R$ cho $2 M$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y M = G^{2} R$ cho $2 M$ .

$\frac{2 y M}{2 M} = \frac{G^{2} R}{2 M}$

Bước 3.4.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y M}{2 M} = \frac{G^{2} R}{2 M}$

Bước 3.4.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y M}{M} = \frac{G^{2} R}{2 M}$

Bước 3.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y M}{M} = \frac{G^{2} R}{2 M}$

Bước 3.4.3.2.2.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{G^{2} R}{2 M}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $v^{- 1} (G)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$v^{- 1} (G) = \frac{G^{2} R}{2 M}$

Bước 5

Kiểm tra xem $v^{- 1} (G) = \frac{G^{2} R}{2 M}$ có là hàm ngược của $v (G) = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $v^{- 1} (v (G)) = G$ và $v (v^{- 1} (G)) = G$ không.

Bước 5.2

Tính $v^{- 1} (v (G))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$v^{- 1} (v (G))$

Bước 5.2.2

Tính $v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}})$ bằng cách thay giá trị của $v$ vào $v^{- 1}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\sqrt{\frac{2 G M}{R}})}^{2} R}{2 M}$

Bước 5.2.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Viết lại $\sqrt{\frac{2 G M}{R}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{2 G M}}{\sqrt{R}}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M}}{\sqrt{R}})}^{2} R}{2 M}$

Bước 5.2.3.2

Nhân $\frac{\sqrt{2 G M}}{\sqrt{R}}$ với $\frac{\sqrt{R}}{\sqrt{R}}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M}}{\sqrt{R}} \cdot \frac{\sqrt{R}}{\sqrt{R}})}^{2} R}{2 M}$

Bước 5.2.3.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.3.1

Nhân $\frac{\sqrt{2 G M}}{\sqrt{R}}$ với $\frac{\sqrt{R}}{\sqrt{R}}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{\sqrt{R} \sqrt{R}})}^{2} R}{2 M}$

Bước 5.2.3.3.2

Nâng $\sqrt{R}$ lên lũy thừa $1$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{\sqrt{R} \sqrt{R}})}^{2} R}{2 M}$

Bước 5.2.3.3.3

Nâng $\sqrt{R}$ lên lũy thừa $1$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{\sqrt{R} \sqrt{R}})}^{2} R}{2 M}$

Bước 5.2.3.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{{\sqrt{R}}^{1 + 1}})}^{2} R}{2 M}$

Bước 5.2.3.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{{\sqrt{R}}^{2}})}^{2} R}{2 M}$

Bước 5.2.3.3.6

Viết lại ${\sqrt{R}}^{2}$ ở dạng $R$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{R}$ ở dạng $R^{\frac{1}{2}}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{{(R^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} R}{2 M}$

Bước 5.2.3.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{R^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} R}{2 M}$

Bước 5.2.3.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{R^{\frac{2}{2}}})}^{2} R}{2 M}$

Bước 5.2.3.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{R^{\frac{2}{2}}})}^{2} R}{2 M}$

Bước 5.2.3.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{R})}^{2} R}{2 M}$

Bước 5.2.3.3.6.5

Rút gọn.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{R})}^{2} R}{2 M}$

Bước 5.2.3.4

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M R}}{R})}^{2} R}{2 M}$

Bước 5.2.3.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{2 G M R}}{R}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{{\sqrt{2 G M R}}^{2}}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Bước 5.2.3.6

Viết lại ${\sqrt{2 G M R}}^{2}$ ở dạng $2 G M R$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 G M R}$ ở dạng ${(2 G M R)}^{\frac{1}{2}}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{{({(2 G M R)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Bước 5.2.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{{(2 G M R)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Bước 5.2.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{{(2 G M R)}^{\frac{2}{2}}}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Bước 5.2.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{{(2 G M R)}^{\frac{2}{2}}}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Bước 5.2.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{2 G M R}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Bước 5.2.3.6.5

Rút gọn.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{2 G M R}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Bước 5.2.3.7

Triệt tiêu thừa số chung của $R$ và $R^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.7.1

Đưa $R$ ra ngoài $2 G M R$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{R (2 G M)}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Bước 5.2.3.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.7.2.1

Đưa $R$ ra ngoài $R^{2}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{R (2 G M)}{R \cdot R} \cdot R}{2 M}$

Bước 5.2.3.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{R (2 G M)}{R \cdot R} \cdot R}{2 M}$

Bước 5.2.3.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{2 G M}{R} \cdot R}{2 M}$

Bước 5.2.4

Kết hợp $\frac{2 G M}{R}$ và $R$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{2 G M R}{R}}{2 M}$

Bước 5.2.5

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Rút gọn biểu thức $\frac{2 G M R}{R}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{2 G M R}{R}}{2 M}$

Bước 5.2.5.1.2

Viết lại biểu thức.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{2 G M}{1}}{2 M}$

Bước 5.2.5.2

Chia $2 G M$ cho $1$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{2 G M}{2 M}$

Bước 5.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{2 G M}{2 M}$

Bước 5.2.6.2

Viết lại biểu thức.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{G M}{M}$

Bước 5.2.7

Triệt tiêu thừa số chung $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{G M}{M}$

Bước 5.2.7.2

Chia $G$ cho $1$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = G$

Bước 5.3

Tính $v (v^{- 1} (G))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$v (v^{- 1} (G))$

Bước 5.3.2

Tính $v (\frac{G^{2} R}{2 M})$ bằng cách thay giá trị của $v^{- 1}$ vào $v$ .

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{2 (\frac{G^{2} R}{2 M}) \cdot \frac{M}{R}}$

Bước 5.3.3

Kết hợp $2$ và $\frac{G^{2} R}{2 M}$ .

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{\frac{2 (G^{2} R)}{2 M} \cdot \frac{M}{R}}$

Bước 5.3.4

Nhân $\frac{2 (G^{2} R)}{2 M}$ với $\frac{M}{R}$ .

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{\frac{2 (G^{2} R) M}{2 M R}}$

Bước 5.3.5

Rút gọn biểu thức $\frac{2 G^{2} R M}{2 M R}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{\frac{2 G^{2} R M}{2 M R}}$

Bước 5.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{\frac{G^{2} R M}{M R}}$

Bước 5.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $R$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{\frac{G^{2} R M}{M R}}$

Bước 5.3.6.2

Viết lại biểu thức.

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{\frac{G^{2} M}{M}}$

Bước 5.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{\frac{G^{2} M}{M}}$

Bước 5.3.7.2

Chia $G^{2}$ cho $1$ .

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{G^{2}}$

Bước 5.3.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = G$

Bước 5.4

Vì $v^{- 1} (v (G)) = G$ và $v (v^{- 1} (G)) = G$ , nên $v^{- 1} (G) = \frac{G^{2} R}{2 M}$ là hàm ngược của $v (G) = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}$ .

$v^{- 1} (G) = \frac{G^{2} R}{2 M}$