Đại số Ví dụ

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}}{x - 1}$

Bước 1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x^{2} - 2 x + 1 \geq 0$

Bước 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Bước 2.2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Bước 2.2.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Bước 2.2.3

Viết lại đa thức này.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Bước 2.2.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Bước 2.3

Đặt $x - 1$ bằng $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 2.4

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 2.5

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < 1$

$x > 1$

Bước 2.6

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 2.6.1.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 1 \geq 0$

Bước 2.6.1.3

Vế trái $1$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 2.6.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 2.6.2.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(4)}^{2} - 2 \cdot 4 + 1 \geq 0$

Bước 2.6.2.3

Vế trái $9$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 2.6.3

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < 1$ Đúng

$x > 1$ Đúng

$x < 1$ Đúng

$x > 1$ Đúng

Bước 2.7

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x \leq 1$ hoặc $x \geq 1$

Bước 2.8

Kết hợp các khoảng.

Tất cả các số thực

Bước 3

Đặt mẫu số trong $\frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}}{x - 1}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x - 1 = 0$

Bước 4

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 5

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 1}$

Bước 6

$y = 1$ là một đường thẳng vuông góc với trục $y$ , nghĩa là miền giá trị chỉ gồm một giá trị ${y | y = 1}$ .

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${y | y = 1}$

Bước 7

Xác định tập xác định và khoảng biến thiên.

Tập xác định: $(- \infty, 1) \cup (1, \infty), {x | x \neq 1}$

Khoảng biến thiên: ${y | y = 1}$

Bước 8