Đại số Ví dụ

$y = e^{\frac{x}{2}}$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = e^{\frac{y}{2}}$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{\frac{y}{2}} = x$ .

$e^{\frac{y}{2}} = x$

Bước 2.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{\frac{y}{2}}) = \ln (x)$

Bước 2.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Khai triển $\ln (e^{\frac{y}{2}})$ bằng cách di chuyển $\frac{y}{2}$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{y}{2} \ln (e) = \ln (x)$

Bước 2.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$\frac{y}{2} \cdot 1 = \ln (x)$

Bước 2.3.3

Nhân $\frac{y}{2}$ với $1$ .

$\frac{y}{2} = \ln (x)$

Bước 2.4

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \ln (x)$

Bước 2.5

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{y}{2} = 2 \ln (x)$

Bước 2.5.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = 2 \ln (x)$

Bước 3

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = 2 \ln (x)$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = 2 \ln (x)$ có là hàm ngược của $f (x) = e^{\frac{x}{2}}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}})$

Bước 4.2.3

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $\frac{x}{2}$ ra khỏi số mũ.

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = 2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (e))$

Bước 4.2.4

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = 2 (\frac{x}{2} \cdot 1)$

Bước 4.2.5

Nhân $\frac{x}{2}$ với $1$ .

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = 2 (\frac{x}{2})$

Bước 4.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = 2 (\frac{x}{2})$

Bước 4.2.6.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = x$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (2 \ln (x))$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (2 \ln (x)) = e^{\frac{2 \ln (x)}{2}}$

Bước 4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (2 \ln (x)) = e^{\frac{2 \ln (x)}{2}}$

Bước 4.3.3.2

Chia $\ln (x)$ cho $1$ .

$f (2 \ln (x)) = e^{\ln (x)}$

Bước 4.3.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (2 \ln (x)) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = 2 \ln (x)$ là hàm ngược của $f (x) = e^{\frac{x}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \ln (x)$