Đại số Ví dụ

$y = 5^{\frac{x}{2}}$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 5^{\frac{y}{2}}$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $5^{\frac{y}{2}} = x$ .

$5^{\frac{y}{2}} = x$

Bước 2.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (5^{\frac{y}{2}}) = \ln (x)$

Bước 2.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Khai triển $\ln (5^{\frac{y}{2}})$ bằng cách di chuyển $\frac{y}{2}$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{y}{2} \ln (5) = \ln (x)$

Bước 2.3.2

Kết hợp $\frac{y}{2}$ và $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{2} = \ln (x)$

Bước 2.4

Nhân cả hai vế của phương trình với $\frac{2}{\ln (5)}$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{y \ln (5)}{2} = \frac{2}{\ln (5)} \ln (x)$

Bước 2.5

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Rút gọn $\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{y \ln (5)}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{y \ln (5)}{2} = \frac{2}{\ln (5)} \ln (x)$

Bước 2.5.1.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\ln (5)} (y \ln (5)) = \frac{2}{\ln (5)} \ln (x)$

Bước 2.5.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (5)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1.2.1

Đưa $\ln (5)$ ra ngoài $y \ln (5)$ .

$\frac{1}{\ln (5)} (\ln (5) y) = \frac{2}{\ln (5)} \ln (x)$

Bước 2.5.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\ln (5)} (\ln (5) y) = \frac{2}{\ln (5)} \ln (x)$

Bước 2.5.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{2}{\ln (5)} \ln (x)$

Bước 2.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Kết hợp $\frac{2}{\ln (5)}$ và $\ln (x)$ .

$y = \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Bước 3

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$ có là hàm ngược của $f (x) = 5^{\frac{x}{2}}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} \cdot 5^{\frac{x}{2}}$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{\frac{x}{2}} = \frac{2 \ln (5^{\frac{x}{2}})}{\ln (5)}$

Bước 4.2.3

Khai triển $\ln (5^{\frac{x}{2}})$ bằng cách di chuyển $\frac{x}{2}$ ra bên ngoài lôgarit.

$f^{- 1} \cdot 5^{\frac{x}{2}} = \frac{2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (5))}{\ln (5)}$

Bước 4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (5)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} \cdot 5^{\frac{x}{2}} = \frac{2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (5))}{\ln (5)}$

Bước 4.2.4.2

Chia $2 (\frac{x}{2})$ cho $1$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{\frac{x}{2}} = 2 (\frac{x}{2})$

Bước 4.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} \cdot 5^{\frac{x}{2}} = 2 (\frac{x}{2})$

Bước 4.2.5.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} \cdot 5^{\frac{x}{2}} = x$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\frac{\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}}{2}}$

Bước 4.3.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{2}}$

Bước 4.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \ln (x)$ .

$f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\frac{2 (\ln (x))}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{2}}$

Bước 4.3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{2}}$

Bước 4.3.4.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\frac{\ln (x)}{\ln (5)}}$

Bước 4.3.5

Sử dụng quy tắc đổi cơ số $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\log_{5} (x)}$

Bước 4.3.6

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$ là hàm ngược của $f (x) = 5^{\frac{x}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$