Đại số Ví dụ

$x + \frac{1}{x} \geq 2$

Bước 1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$1, x, 1$

Bước 1.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng trong $x + \frac{1}{x} \geq 2$ với $x$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân mỗi số hạng trong $x + \frac{1}{x} \geq 2$ với $x$ .

$x \cdot x + \frac{1}{x} x \geq 2 x$

Bước 2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} + \frac{1}{x} x \geq 2 x$

Bước 2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} + \frac{1}{x} x \geq 2 x$

Bước 2.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{2} + 1 \geq 2 x$

Bước 3

Giải bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Trừ $2 x$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$x^{2} + 1 - 2 x \geq 0$

Bước 3.2

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$x^{2} + 1 - 2 x = 0$

Bước 3.3

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Bước 3.3.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Bước 3.3.3

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Bước 3.3.4

Viết lại đa thức này.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Bước 3.3.5

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Bước 3.4

Đặt $x - 1$ bằng $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 3.5

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 4

Tìm tập xác định của $x + \frac{1}{x} - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt mẫu số trong $\frac{1}{x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = 0$

Bước 4.2

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 5

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Bước 6

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 2$

Bước 6.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$(- 2) + \frac{1}{- 2} \geq 2$

Bước 6.1.3

Vế trái $- 2.5$ nhỏ hơn vế phải $2$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 6.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < x < 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < x < 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0.5$

Bước 6.2.2

Thay thế $x$ bằng $0.5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$(0.5) + \frac{1}{0.5} \geq 2$

Bước 6.2.3

Vế trái $2.5$ lớn hơn vế phải $2$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 6.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 6.3.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$(4) + \frac{1}{4} \geq 2$

Bước 6.3.3

Vế trái $4.25$ lớn hơn vế phải $2$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 6.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < 0$ Sai

$0 < x < 1$ Đúng

$x > 1$ Đúng

$x < 0$ Sai

$0 < x < 1$ Đúng

$x > 1$ Đúng

Bước 7

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$0 < x \leq 1$ hoặc $x \geq 1$

Bước 8

Kết hợp các khoảng.

$x > 0$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng bất đẳng thức:

$x > 0$

Ký hiệu khoảng:

$(0, \infty)$

Bước 10