Đại số Ví dụ

$\frac{2 x + 1}{x^{2} + 4 x + 4} - \frac{6 x}{x^{2} - 4} + \frac{3}{x - 2}$

Bước 1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{2 x + 1}{x^{2} + 4 x + 2^{2}} - \frac{6 x}{x^{2} - 4} + \frac{3}{x - 2}$

Bước 1.1.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Bước 1.1.3

Viết lại đa thức này.

$\frac{2 x + 1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} - \frac{6 x}{x^{2} - 4} + \frac{3}{x - 2}$

Bước 1.1.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

$\frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}} - \frac{6 x}{x^{2} - 4} + \frac{3}{x - 2}$

Bước 1.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}} - \frac{6 x}{x^{2} - 2^{2}} + \frac{3}{x - 2}$

Bước 1.2.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

$\frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}} - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{3}{x - 2}$

Bước 2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}}$ với $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{3}{x - 2}$

Bước 2.2

Nhân $\frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}}$ với $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{3}{x - 2}$

Bước 2.3

Nhân $\frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)}$ với $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - (\frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}) + \frac{3}{x - 2}$

Bước 2.4

Nhân $\frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)}$ với $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - \frac{6 x (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x + 2)} + \frac{3}{x - 2}$

Bước 2.5

Nhân $\frac{3}{x - 2}$ với $\frac{{(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - \frac{6 x (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x + 2)} + \frac{3}{x - 2} \cdot \frac{{(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Bước 2.6

Nhân $\frac{3}{x - 2}$ với $\frac{{(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - \frac{6 x (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x + 2)} + \frac{3 {(x + 2)}^{2}}{(x - 2) {(x + 2)}^{2}}$

Bước 2.7

Sắp xếp lại các thừa số của $(x + 2) (x - 2) (x + 2)$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - \frac{6 x (x + 2)}{(x + 2) (x + 2) (x - 2)} + \frac{3 {(x + 2)}^{2}}{(x - 2) {(x + 2)}^{2}}$

Bước 2.8

Nâng $x + 2$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - \frac{6 x (x + 2)}{{(x + 2)}^{1} (x + 2) (x - 2)} + \frac{3 {(x + 2)}^{2}}{(x - 2) {(x + 2)}^{2}}$

Bước 2.9

Nâng $x + 2$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - \frac{6 x (x + 2)}{{(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1} (x - 2)} + \frac{3 {(x + 2)}^{2}}{(x - 2) {(x + 2)}^{2}}$

Bước 2.10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - \frac{6 x (x + 2)}{{(x + 2)}^{1 + 1} (x - 2)} + \frac{3 {(x + 2)}^{2}}{(x - 2) {(x + 2)}^{2}}$

Bước 2.11

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - \frac{6 x (x + 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} + \frac{3 {(x + 2)}^{2}}{(x - 2) {(x + 2)}^{2}}$

Bước 3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(2 x + 1) (x - 2) - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Khai triển $(2 x + 1) (x - 2)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x (x - 2) + 1 (x - 2) - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 4.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 1 (x - 2) - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 4.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2 - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 4.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2 - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 4.2.1.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2 - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 4.2.1.2

Nhân $- 2$ với $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 1 x + 1 \cdot - 2 - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 4.2.1.3

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + x + 1 \cdot - 2 - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 4.2.1.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + x - 2 - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 4.2.2

Cộng $- 4 x$ và $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x \cdot x - 6 x \cdot 2 + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 4.4

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 (x \cdot x) - 6 x \cdot 2 + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 4.4.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 6 x \cdot 2 + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 4.5

Nhân $2$ với $- 6$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 4.6

Viết lại ${(x + 2)}^{2}$ ở dạng $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 ((x + 2) (x + 2))}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 4.7

Khai triển $(x + 2) (x + 2)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 (x (x + 2) + 2 (x + 2))}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 4.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 4.7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 4.8

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 4.8.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 4.8.1.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 4.8.2

Cộng $2 x$ và $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 (x^{2} + 4 x + 4)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 4.9

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot 4}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 4.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.1

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 x^{2} + 12 x + 3 \cdot 4}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 4.10.2

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 x^{2} + 12 x + 12}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 5

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 x^{2} + 12 x + 12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Cộng $- 12 x$ và $12 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} + 3 x^{2} + 0 + 12}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 5.1.2

Cộng $2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} + 3 x^{2}$ và $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} + 3 x^{2} + 12}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 5.2

Trừ $6 x^{2}$ khỏi $2 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 3 x - 2 + 3 x^{2} + 12}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 5.3

Cộng $- 4 x^{2}$ và $3 x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x - 2 + 12}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 5.4

Cộng $- 2$ và $12$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x + 10}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 6

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = - 1 \cdot 10 = - 10$ và có tổng là $b = - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Đưa $- 3$ ra ngoài $- 3 x$ .

$\frac{- x^{2} - 3 (x) + 10}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 6.1.2

Viết lại $- 3$ ở dạng $2$ cộng $- 5$

$\frac{- x^{2} + (2 - 5) x + 10}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 6.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- x^{2} + 2 x - 5 x + 10}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 6.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{(- x^{2} + 2 x) - 5 x + 10}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 6.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{x (- x + 2) + 5 (- x + 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 6.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- x + 2$ .

$\frac{(- x + 2) (x + 5)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 7

Triệt tiêu thừa số chung của $- x + 2$ và $x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{(- (x) + 2) (x + 5)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 7.2

Viết lại $2$ ở dạng $- 1 (- 2)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 2)) (x + 5)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 7.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x - 2) (x + 5)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 7.4

Viết lại $- (x - 2)$ ở dạng $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{- 1 (x - 2) (x + 5)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 7.5

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1 (x - 2) (x + 5)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Bước 7.6

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1 (x + 5)}{{(x + 2)}^{2}}$

Bước 8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{x + 5}{{(x + 2)}^{2}}$