Đại số Ví dụ

$\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) > 2$

Bước 1

Quy đổi bất đẳng thức thành một đẳng thức.

$\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) = 2$

Bước 2

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết dưới dạng hàm mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Đối với các phương trình logarit, $\log_{b} (x) = y$ tương đương với $b^{y} = x$ sao cho $x > 0$ , $b > 0$ , và $b \neq 1$ . Trong trường hợp này, $b = 3$ , $x = {(x - 1)}^{2}$ , và $y = 2$ .

$b = 3$

$x = {(x - 1)}^{2}$

$y = 2$

Bước 2.1.2

Thay các giá trị của $b$ , $x$ và $y$ vào phương trình $b^{y} = x$ .

$3^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Bước 2.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại phương trình ở dạng ${(x - 1)}^{2} = 3^{2}$ .

${(x - 1)}^{2} = 3^{2}$

Bước 2.2.2

Vì các số mũ bằng nhau, nên cơ số của các số mũ ở cả hai vế của phương trình cũng phải bằng nhau.

$| x - 1 | = | 3 |$

Bước 2.2.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm | 3 |$

Bước 2.2.3.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $3$ là $3$ .

$x - 1 = \pm 3$

Bước 2.2.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x - 1 = 3$

Bước 2.2.3.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.3.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3 + 1$

Bước 2.2.3.3.2.2

Cộng $3$ và $1$ .

$x = 4$

Bước 2.2.3.3.3

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x - 1 = - 3$

Bước 2.2.3.3.4

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.3.4.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = - 3 + 1$

Bước 2.2.3.3.4.2

Cộng $- 3$ và $1$ .

$x = - 2$

Bước 2.2.3.3.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 4, - 2$

Bước 3

Tìm tập xác định của $\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt giá trị đối số trong $\log_{3} ({(x - 1)}^{2})$ lớn hơn $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

${(x - 1)}^{2} > 0$

Bước 3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của bất đẳng thức để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$\sqrt{{(x - 1)}^{2}} > \sqrt{0}$

Bước 3.2.2

Rút gọn phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| x - 1 | > \sqrt{0}$

Bước 3.2.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1

Rút gọn $\sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$| x - 1 | > \sqrt{0^{2}}$

Bước 3.2.2.2.1.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| x - 1 | > | 0 |$

Bước 3.2.2.2.1.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $0$ là $0$ .

$| x - 1 | > 0$

Bước 3.2.3

Viết $| x - 1 | > 0$ ở dạng hàm từng khúc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Để tìm khoảng cho phần đầu tiên, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối không âm.

$x - 1 \geq 0$

Bước 3.2.3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của bất đẳng thức.

$x \geq 1$

Bước 3.2.3.3

Trong phần nơi mà $x - 1$ không âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối.

$x - 1 > 0$

Bước 3.2.3.4

Để tìm khoảng cho phần thứ hai, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối âm.

$x - 1 < 0$

Bước 3.2.3.5

Cộng $1$ cho cả hai vế của bất đẳng thức.

$x < 1$

Bước 3.2.3.6

Trong phần nơi mà $x - 1$ âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối và nhân với $- 1$ .

$- (x - 1) > 0$

Bước 3.2.3.7

Viết ở dạng hàm từng khúc.

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - (x - 1) > 0 & x < 1 \end{cases}$

Bước 3.2.3.8

Rút gọn $- (x - 1) > 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - x - - 1 > 0 & x < 1 \end{cases}$

Bước 3.2.3.8.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - x + 1 > 0 & x < 1 \end{cases}$

Bước 3.2.4

Cộng $1$ cho cả hai vế của bất đẳng thức.

$x > 1$

Bước 3.2.5

Giải $- x + 1 > 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$- x > - 1$

Bước 3.2.5.2

Chia mỗi số hạng trong $- x > - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x > - 1$ cho $- 1$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- 1}{- 1}$

Bước 3.2.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} < \frac{- 1}{- 1}$

Bước 3.2.5.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x < \frac{- 1}{- 1}$

Bước 3.2.5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.2.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$x < 1$

Bước 3.2.6

Tìm hợp của các đáp án.

$x < 1$ hoặc $x > 1$

Bước 3.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Bước 4

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

Bước 5

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 4$

Bước 5.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\log_{3} ({((- 4) - 1)}^{2}) > 2$

Bước 5.1.3

Vế trái $2.92994704$ lớn hơn vế phải $2$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 5.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 2 < x < 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 2 < x < 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 5.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\log_{3} ({((0) - 1)}^{2}) > 2$

Bước 5.2.3

Vế trái $0$ không lớn hơn vế phải $2$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 5.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $1 < x < 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $1 < x < 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 2$

Bước 5.3.2

Thay thế $x$ bằng $2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\log_{3} ({((2) - 1)}^{2}) > 2$

Bước 5.3.3

Vế trái $0$ không lớn hơn vế phải $2$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 5.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 6$

Bước 5.4.2

Thay thế $x$ bằng $6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\log_{3} ({((6) - 1)}^{2}) > 2$

Bước 5.4.3

Vế trái $2.92994704$ lớn hơn vế phải $2$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 5.5

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 2$ Đúng

$- 2 < x < 1$ Sai

$1 < x < 4$ Sai

$x > 4$ Đúng

$x < - 2$ Đúng

$- 2 < x < 1$ Sai

$1 < x < 4$ Sai

$x > 4$ Đúng

Bước 6

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x < - 2$ hoặc $x > 4$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng bất đẳng thức:

$x < - 2 or x > 4$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - 2) \cup (4, \infty)$

Bước 8