Đại số Ví dụ

$\log_{16} (9 x + 5) - \log_{16} (x^{2} - 1) = \frac{1}{2}$

Bước 1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{16} (\frac{9 x + 5}{x^{2} - 1}) = \frac{1}{2}$

Bước 1.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\log_{16} (\frac{9 x + 5}{x^{2} - 1^{2}}) = \frac{1}{2}$

Bước 1.2.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\log_{16} (\frac{9 x + 5}{(x + 1) (x - 1)}) = \frac{1}{2}$

Bước 2

Viết lại $\log_{16} (\frac{9 x + 5}{(x + 1) (x - 1)}) = \frac{1}{2}$ dưới dạng số mũ bằng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b$ $\neq$ $1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ tương đương với $b^{y} = x$ .

$16^{\frac{1}{2}} = \frac{9 x + 5}{(x + 1) (x - 1)}$

Bước 3

Nhân chéo để loại bỏ phân số.

$9 x + 5 = 16^{\frac{1}{2}} ((x + 1) (x - 1))$

Bước 4

Rút gọn $16^{\frac{1}{2}} ((x + 1) (x - 1))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$9 x + 5 = {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} ((x + 1) (x - 1))$

Bước 4.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x + 5 = 4^{2 (\frac{1}{2})} ((x + 1) (x - 1))$

Bước 4.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$9 x + 5 = 4^{2 (\frac{1}{2})} ((x + 1) (x - 1))$

Bước 4.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$9 x + 5 = 4^{1} ((x + 1) (x - 1))$

Bước 4.1.4

Tính số mũ.

$9 x + 5 = 4 ((x + 1) (x - 1))$

Bước 4.2

Khai triển $(x + 1) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$9 x + 5 = 4 (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Bước 4.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$9 x + 5 = 4 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Bước 4.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$9 x + 5 = 4 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Bước 4.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Bước 4.3.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Bước 4.3.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Bước 4.3.1.4

Nhân $x$ với $1$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Bước 4.3.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - x + x - 1)$

Bước 4.3.2

Cộng $- x$ và $x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} + 0 - 1)$

Bước 4.3.3

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - 1)$

Bước 4.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$9 x + 5 = 4 x^{2} + 4 \cdot - 1$

Bước 4.5

Nhân $4$ với $- 1$ .

$9 x + 5 = 4 x^{2} - 4$

Bước 5

Trừ $4 x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$9 x + 5 - 4 x^{2} = - 4$

Bước 6

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$9 x - 4 x^{2} = - 4 - 5$

Bước 6.2

Trừ $5$ khỏi $- 4$ .

$9 x - 4 x^{2} = - 9$

Bước 7

Cộng $9$ cho cả hai vế của phương trình.

$9 x - 4 x^{2} + 9 = 0$

Bước 8

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $9 x - 4 x^{2} + 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Sắp xếp lại $9 x$ và $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} + 9 x + 9 = 0$

Bước 8.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 x^{2}$ .

$- (4 x^{2}) + 9 x + 9 = 0$

Bước 8.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $9 x$ .

$- (4 x^{2}) - (- 9 x) + 9 = 0$

Bước 8.1.4

Viết lại $9$ ở dạng $- 1 (- 9)$ .

$- (4 x^{2}) - (- 9 x) - 1 \cdot - 9 = 0$

Bước 8.1.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (4 x^{2}) - (- 9 x)$ .

$- (4 x^{2} - 9 x) - 1 \cdot - 9 = 0$

Bước 8.1.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (4 x^{2} - 9 x) - 1 (- 9)$ .

$- (4 x^{2} - 9 x - 9) = 0$

Bước 8.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 4 \cdot - 9 = - 36$ và có tổng là $b = - 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1.1

Đưa $- 9$ ra ngoài $- 9 x$ .

$- (4 x^{2} - 9 x - 9) = 0$

Bước 8.2.1.1.2

Viết lại $- 9$ ở dạng $3$ cộng $- 12$

$- (4 x^{2} + (3 - 12) x - 9) = 0$

Bước 8.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- (4 x^{2} + 3 x - 12 x - 9) = 0$

Bước 8.2.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$- ((4 x^{2} + 3 x) - 12 x - 9) = 0$

Bước 8.2.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$- (x (4 x + 3) - 3 (4 x + 3)) = 0$

Bước 8.2.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $4 x + 3$ .

$- ((4 x + 3) (x - 3)) = 0$

Bước 8.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- (4 x + 3) (x - 3) = 0$

Bước 9

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$4 x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Bước 10

Đặt $4 x + 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Đặt $4 x + 3$ bằng với $0$ .

$4 x + 3 = 0$

Bước 10.2

Giải $4 x + 3 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 x = - 3$

Bước 10.2.2

Chia mỗi số hạng trong $4 x = - 3$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x = - 3$ cho $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Bước 10.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Bước 10.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 3}{4}$

Bước 10.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{3}{4}$

Bước 11

Đặt $x - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Đặt $x - 3$ bằng với $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 11.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 12

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- (4 x + 3) (x - 3) = 0$ đúng.

$x = - \frac{3}{4}, 3$

Bước 13

Loại bỏ đáp án không làm cho $\log_{16} (9 x + 5) - \log_{16} (x^{2} - 1) = \frac{1}{2}$ đúng.

$x = 3$