Đại số Ví dụ

$y = {(\frac{1}{4})}^{x}$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = {(\frac{1}{4})}^{y}$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng ${(\frac{1}{4})}^{y} = x$ .

${(\frac{1}{4})}^{y} = x$

Bước 2.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln ({(\frac{1}{4})}^{y}) = \ln (x)$

Bước 2.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Khai triển $\ln ({(\frac{1}{4})}^{y})$ bằng cách di chuyển $y$ ra bên ngoài lôgarit.

$y \ln (\frac{1}{4}) = \ln (x)$

Bước 2.3.2

Viết lại $\ln (\frac{1}{4})$ ở dạng $\ln (1) - \ln (4)$ .

$y (\ln (1) - \ln (4)) = \ln (x)$

Bước 2.3.3

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$y (0 - \ln (4)) = \ln (x)$

Bước 2.3.4

Viết lại $\ln (4)$ ở dạng $\ln (2^{2})$ .

$y (0 - \ln (2^{2})) = \ln (x)$

Bước 2.3.5

Khai triển $\ln (2^{2})$ bằng cách di chuyển $2$ ra bên ngoài lôgarit.

$y (0 - (2 \ln (2))) = \ln (x)$

Bước 2.3.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y (0 - 2 \ln (2)) = \ln (x)$

Bước 2.3.7

Trừ $2 \ln (2)$ khỏi $0$ .

$y (- 2 \ln (2)) = \ln (x)$

Bước 2.4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $y (- 2 \ln (2))$ .

$- 2 y \ln (2) = \ln (x)$

Bước 2.5

Chia mỗi số hạng trong $- 2 y \ln (2) = \ln (x)$ cho $- 2 \ln (2)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 y \ln (2) = \ln (x)$ cho $- 2 \ln (2)$ .

$\frac{- 2 y \ln (2)}{- 2 \ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Bước 2.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 y \ln (2)}{- 2 \ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Bước 2.5.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Bước 2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Bước 2.5.2.2.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Bước 2.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$

Bước 3

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$ có là hàm ngược của $f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln ({(\frac{1}{4})}^{x})}{2 \ln (2)}$

Bước 4.2.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{4}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1^{x}}{4^{x}})}{2 \ln (2)}$

Bước 4.2.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{4^{x}})}{2 \ln (2)}$

Bước 4.2.4

Rút gọn $2 \ln (2)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{4^{x}})}{\ln (2^{2})}$

Bước 4.2.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{4^{x}})}{\ln (4)}$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = {(\frac{1}{4})}^{- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}}$

Bước 4.3.3

Rút gọn $2 \ln (2)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = {(\frac{1}{4})}^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2^{2})}}$

Bước 4.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = {(\frac{1}{4})}^{- \frac{\ln (x)}{\ln (4)}}$

Bước 4.3.4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1^{- \frac{\ln (x)}{\ln (4)}}}{4^{- \frac{\ln (x)}{\ln (4)}}}$

Bước 4.3.4.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{4^{- \frac{\ln (x)}{\ln (4)}}}$

Bước 4.3.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Sử dụng quy tắc đổi cơ số $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{4^{- \log_{4} (x)}}$

Bước 4.3.5.2

Rút gọn $- \log_{4} (x)$ bằng cách di chuyển $- 1$ trong logarit.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{4^{\log_{4} (x^{- 1})}}$

Bước 4.3.5.3

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{x^{- 1}}$

Bước 4.3.5.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Bước 4.3.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = 1 x$

Bước 4.3.7

Nhân $x$ với $1$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$ là hàm ngược của $f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$