Đại số Ví dụ

$\frac{1 + \frac{1}{x - 1}}{1 + \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Bước 1

Nhân tử số và mẫu số của phân số với $(x - 1) (x^{2} - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân $\frac{1 + \frac{1}{x - 1}}{1 + \frac{1}{x^{2} - 1}}$ với $\frac{(x - 1) (x^{2} - 1)}{(x - 1) (x^{2} - 1)}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1)}{(x - 1) (x^{2} - 1)} \cdot \frac{1 + \frac{1}{x - 1}}{1 + \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Bước 1.2

Kết hợp.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) (1 + \frac{1}{x - 1})}{(x - 1) (x^{2} - 1) (1 + \frac{1}{x^{2} - 1})}$

Bước 2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x - 1}}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Bước 3

Rút gọn bằng cách triệt tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x - 1}}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Bước 3.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $x^{2} - 1$ ra ngoài $(x - 1) (x^{2} - 1)$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x^{2} - 1) (x - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x^{2} - 1) (x - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Bước 3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Khai triển $(x - 1) (x^{2} - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(x (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 4.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 4.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{(x^{1} x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 4.2.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{(x^{1 + 2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 4.2.1.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{(x^{3} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 4.2.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{(x^{3} - 1 \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 4.2.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\frac{(x^{3} - x - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 4.2.4

Viết lại $- 1 x^{2}$ ở dạng $- x^{2}$ .

$\frac{(x^{3} - x - x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 4.2.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{(x^{3} - x - x^{2} + 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 4.3

Nhân $x^{3} - x - x^{2} + 1$ với $1$ .

$\frac{x^{3} - x - x^{2} + 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 4.4

Cộng $- x^{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} - x + 0 + 1 - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 4.5

Cộng $x^{3}$ và $0$ .

$\frac{x^{3} - x + 1 - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 4.6

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{x^{3} - x + 0}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 4.7

Cộng $x^{3} - x$ và $0$ .

$\frac{x^{3} - x}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 4.8

Viết lại $x^{3} - x$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3} - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - x}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 4.8.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 4.8.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ .

$\frac{x (x^{2} - 1)}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 4.8.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{x (x^{2} - 1^{2})}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 4.8.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Khai triển $(x - 1) (x^{2} - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 5.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{1} x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 5.2.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{1 + 2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 5.2.1.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 5.2.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} - 1 \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 5.2.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} - x - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 5.2.4

Viết lại $- 1 x^{2}$ ở dạng $- x^{2}$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} - x - x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 5.2.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} - x - x^{2} + 1) \cdot 1 + x - 1}$

Bước 5.3

Nhân $x^{3} - x - x^{2} + 1$ với $1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x - x^{2} + 1 + x - 1}$

Bước 5.4

Cộng $- x$ và $x$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x^{2} + 1 + 0 - 1}$

Bước 5.5

Cộng $x^{3}$ và $0$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x^{2} + 1 - 1}$

Bước 5.6

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x^{2} + 0}$

Bước 5.7

Cộng $x^{3} - x^{2}$ và $0$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x^{2}}$

Bước 5.8

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3} - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3}$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{2} x - x^{2}}$

Bước 5.8.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 1}$

Bước 5.8.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} x + x^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{2} (x - 1)}$

Bước 6

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{x ((x + 1) (x - 1))}{x^{2} (x - 1)}$

Bước 6.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} (x - 1)$ .

$\frac{x ((x + 1) (x - 1))}{x (x (x - 1))}$

Bước 6.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x ((x + 1) (x - 1))}{x (x (x - 1))}$

Bước 6.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)}$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)}$

Bước 6.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x + 1}{x}$