Đại số Ví dụ

${(\frac{1}{3})}^{2 x + 1} > \sqrt{\frac{27}{3^{x - 1}}}$

Bước 1

Vì căn thức nằm ở vế phải của phương trình, chuyển đổi các vế để nó ở vế trái của phương trình.

$\sqrt{\frac{27}{3^{x - 1}}} < {(\frac{1}{3})}^{2 x + 1}$

Bước 2

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của bất đẳng thức, ta bình phương cả hai vế của bất đẳng thức.

${\sqrt{\frac{27}{3^{x - 1}}}}^{2} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Bước 3

Rút gọn mỗi vế của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{\frac{27}{3^{x - 1}}}$ ở dạng ${(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn ${({(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Bước 3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Bước 3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{1} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Bước 3.2.1.2

Rút gọn.

$\frac{27}{3^{x - 1}} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn ${({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{3}$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < {(\frac{1^{2 x + 1}}{3^{2 x + 1}})}^{2}$

Bước 3.3.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{27}{3^{x - 1}} < {(\frac{1}{3^{2 x + 1}})}^{2}$

Bước 3.3.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{3^{2 x + 1}}$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1^{2}}{{(3^{2 x + 1})}^{2}}$

Bước 3.3.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{{(3^{2 x + 1})}^{2}}$

Bước 3.3.1.5

Nhân các số mũ trong ${(3^{2 x + 1})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{3^{(2 x + 1) \cdot 2}}$

Bước 3.3.1.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{3^{2 x \cdot 2 + 1 \cdot 2}}$

Bước 3.3.1.5.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{3^{4 x + 1 \cdot 2}}$

Bước 3.3.1.5.4

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{3^{4 x + 2}}$

Bước 4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lấy logarit của cả hai vế của bất đẳng thức.

$\ln (\frac{27}{3^{x - 1}}) < \ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$

Bước 4.2

Viết lại $\ln (\frac{27}{3^{x - 1}})$ ở dạng $\ln (27) - \ln (3^{x - 1})$ .

$\ln (27) - \ln (3^{x - 1}) < \ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$

Bước 4.3

Khai triển $\ln (3^{x - 1})$ bằng cách di chuyển $x - 1$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (27) - ((x - 1) \ln (3)) < \ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$

Bước 4.4

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < \ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$

Bước 4.5

Viết lại $\ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$ ở dạng $\ln (1) - \ln (3^{4 x + 2})$ .

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < \ln (1) - \ln (3^{4 x + 2})$

Bước 4.6

Khai triển $\ln (3^{4 x + 2})$ bằng cách di chuyển $4 x + 2$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < \ln (1) - ((4 x + 2) \ln (3))$

Bước 4.7

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < 0 - ((4 x + 2) \ln (3))$

Bước 4.8

Trừ $(4 x + 2) \ln (3)$ khỏi $0$ .

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < - ((4 x + 2) \ln (3))$

Bước 4.9

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < - (4 x + 2) \ln (3)$

Bước 4.10

Giải bất đẳng thức để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (27) + (- x + 1) \ln (3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Bước 4.10.1.1.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\ln (27) + (- x + 1) \ln (3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Bước 4.10.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (27) - x \ln (3) + 1 \ln (3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Bước 4.10.1.1.4

Nhân $\ln (3)$ với $1$ .

$\ln (27) - x \ln (3) + \ln (3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Bước 4.10.1.2

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$- x \ln (3) + \ln (27 \cdot 3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Bước 4.10.1.3

Nhân $27$ với $3$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Bước 4.10.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- x \ln (3) + \ln (81) = (- (4 x) - 1 \cdot 2) \ln (3)$

Bước 4.10.2.2

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.2.2.1

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = (- 4 x - 1 \cdot 2) \ln (3)$

Bước 4.10.2.2.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = (- 4 x - 2) \ln (3)$

Bước 4.10.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- x \ln (3) + \ln (81) = - 4 x \ln (3) - 2 \ln (3)$

Bước 4.10.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.3.1

Rút gọn $- 4 x \ln (3) - 2 \ln (3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.3.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.3.1.1.1

Rút gọn $- 4 \ln (3)$ bằng cách di chuyển $4$ trong logarit.

$- x \ln (3) + \ln (81) = x (- \ln (3^{4})) - 2 \ln (3)$

Bước 4.10.3.1.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $4$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = x (- \ln (81)) - 2 \ln (3)$

Bước 4.10.3.1.1.3

Rút gọn $- 2 \ln (3)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$- x \ln (3) + \ln (81) = x (- \ln (81)) - \ln (3^{2})$

Bước 4.10.3.1.1.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = x (- \ln (81)) - \ln (9)$

Bước 4.10.3.1.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $x (- \ln (81)) - \ln (9)$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = - x \ln (81) - \ln (9)$

Bước 4.10.4

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$- x \ln (3) + \ln (81) + x \ln (81) + \ln (9) = 0$

Bước 4.10.5

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$- x \ln (3) + x \ln (81) + \ln (81 \cdot 9) = 0$

Bước 4.10.6

Nhân $81$ với $9$ .

$- x \ln (3) + x \ln (81) + \ln (729) = 0$

Bước 4.10.7

Trừ $\ln (729)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x \ln (3) + x \ln (81) = - \ln (729)$

Bước 4.10.8

Đưa $x$ ra ngoài $- x \ln (3) + x \ln (81)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.8.1

Đưa $x$ ra ngoài $- x \ln (3)$ .

$x (- 1 \ln (3)) + x \ln (81) = - \ln (729)$

Bước 4.10.8.2

Đưa $x$ ra ngoài $x \ln (81)$ .

$x (- 1 \ln (3)) + x (\ln (81)) = - \ln (729)$

Bước 4.10.8.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (- 1 \ln (3)) + x (\ln (81))$ .

$x (- 1 \ln (3) + \ln (81)) = - \ln (729)$

Bước 4.10.9

Viết lại $- 1 \ln (3)$ ở dạng $- \ln (3)$ .

$x (- \ln (3) + \ln (81)) = - \ln (729)$

Bước 4.10.10

Chia mỗi số hạng trong $x (- \ln (3) + \ln (81)) = - \ln (729)$ cho $- \ln (3) + \ln (81)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.10.1

Chia mỗi số hạng trong $x (- \ln (3) + \ln (81)) = - \ln (729)$ cho $- \ln (3) + \ln (81)$ .

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (81))}{- \ln (3) + \ln (81)} = \frac{- \ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Bước 4.10.10.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.10.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- \ln (3) + \ln (81)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.10.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (81))}{- \ln (3) + \ln (81)} = \frac{- \ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Bước 4.10.10.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- \ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Bước 4.10.10.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.10.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{\ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Bước 4.10.10.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \ln (3)$ .

$x = - \frac{\ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Bước 4.10.10.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $\ln (81)$ .

$x = - \frac{\ln (729)}{- \ln (3) - 1 (- \ln (81))}$

Bước 4.10.10.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \ln (3) - 1 (- \ln (81))$ .

$x = - \frac{\ln (729)}{- (\ln (3) - \ln (81))}$

Bước 4.10.10.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.10.3.5.1

Viết lại $- (\ln (3) - \ln (81))$ ở dạng $- 1 (\ln (3) - \ln (81))$ .

$x = - \frac{\ln (729)}{- 1 (\ln (3) - \ln (81))}$

Bước 4.10.10.3.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - - \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Bước 4.10.10.3.5.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x = 1 \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Bước 4.10.10.3.5.4

Nhân $\frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$ với $1$ .

$x = \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Bước 5

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x < \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng bất đẳng thức:

$x < \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)})$

Bước 7