Đại số Ví dụ

$\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

Bước 1

Viết lại $\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ)$ ở dạng hiệu của hai bình phương.

${\sqrt{\cos (θ)}}^{2} - \cos^{2} (θ)$

Bước 2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \sqrt{\cos (θ)}$ và $b = \cos (θ)$ .

$(\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)) (\sqrt{\cos (θ)} - \cos (θ))$

Bước 3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ) = 0$

$\sqrt{\cos (θ)} - \cos (θ) = 0$

Bước 4

Đặt $\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)$ bằng $0$ và giải tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)$ bằng với $0$ .

$\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ) = 0$

Bước 4.2

Giải $\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ) = 0$ để tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Trừ $\cos (θ)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sqrt{\cos (θ)} = - \cos (θ)$

Bước 4.2.2

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{\cos (θ)}}^{2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

Bước 4.2.3

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{\cos (θ)}$ ở dạng ${\cos (θ)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\cos (θ)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

Bước 4.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.2.1

Rút gọn ${({\cos (θ)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({\cos (θ)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\cos (θ)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

Bước 4.2.3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${\cos (θ)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

Bước 4.2.3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\cos^{1} (θ) = {(- \cos (θ))}^{2}$

Bước 4.2.3.2.1.2

Rút gọn.

$\cos (θ) = {(- \cos (θ))}^{2}$

Bước 4.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.3.1

Rút gọn ${(- \cos (θ))}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \cos (θ)$ .

$\cos (θ) = {(- 1)}^{2} \cos^{2} (θ)$

Bước 4.2.3.3.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\cos (θ) = 1 \cos^{2} (θ)$

Bước 4.2.3.3.1.3

Nhân $\cos^{2} (θ)$ với $1$ .

$\cos (θ) = \cos^{2} (θ)$

Bước 4.2.4

Giải tìm $\cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Trừ $\cos^{2} (θ)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\cos (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

Bước 4.2.4.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.2.1

Giả sử $u = \cos (θ)$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $\cos (θ)$ .

$u - u^{2} = 0$

Bước 4.2.4.2.2

Đưa $u$ ra ngoài $u - u^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.2.2.1

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$u - u^{2} = 0$

Bước 4.2.4.2.2.2

Đưa $u$ ra ngoài $u^{1}$ .

$u \cdot 1 - u^{2} = 0$

Bước 4.2.4.2.2.3

Đưa $u$ ra ngoài $- u^{2}$ .

$u \cdot 1 + u (- u) = 0$

Bước 4.2.4.2.2.4

Đưa $u$ ra ngoài $u \cdot 1 + u (- u)$ .

$u (1 - u) = 0$

Bước 4.2.4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$

Bước 4.2.4.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$1 - \cos (θ) = 0$

Bước 4.2.4.4

Đặt $\cos (θ)$ bằng với $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Bước 4.2.4.5

Đặt $1 - \cos (θ)$ bằng $0$ và giải tìm $\cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.5.1

Đặt $1 - \cos (θ)$ bằng với $0$ .

$1 - \cos (θ) = 0$

Bước 4.2.4.5.2

Giải $1 - \cos (θ) = 0$ để tìm $\cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.5.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \cos (θ) = - 1$

Bước 4.2.4.5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- \cos (θ) = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- \cos (θ) = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 4.2.4.5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.5.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 4.2.4.5.2.2.2.2

Chia $\cos (θ)$ cho $1$ .

$\cos (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 4.2.4.5.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.5.2.2.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$\cos (θ) = 1$

Bước 4.2.4.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$ đúng.

$\cos (θ) = 0, 1$

Bước 4.2.5

Lập từng đáp án để giải tìm $θ$ .

$\cos (θ) = 0$

$\cos (θ) = 1$

Bước 4.2.6

Giải tìm $θ$ trong $\cos (θ) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $θ$ từ trong cosin.

$θ = \arccos (0)$

Bước 4.2.6.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Bước 4.2.6.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 4.2.6.4

Rút gọn $2 π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 4.2.6.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 4.2.6.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 4.2.6.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.4.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 4.2.6.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Bước 4.2.6.5

Tìm chu kỳ của $\cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 4.2.6.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 4.2.6.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 4.2.6.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 4.2.6.6

Chu kỳ của hàm $\cos (θ)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4.2.7

Giải tìm $θ$ trong $\cos (θ) = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $θ$ từ trong cosin.

$θ = \arccos (1)$

Bước 4.2.7.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (1)$ là $0$ .

$θ = 0$

Bước 4.2.7.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$θ = 2 π - 0$

Bước 4.2.7.4

Trừ $0$ khỏi $2 π$ .

$θ = 2 π$

Bước 4.2.7.5

Tìm chu kỳ của $\cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 4.2.7.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 4.2.7.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 4.2.7.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 4.2.7.6

Chu kỳ của hàm $\cos (θ)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4.2.8

Liệt kê tất cả các đáp án.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4.2.9

Hợp nhất các đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.9.1

Hợp nhất $\frac{π}{2} + 2 π n$ và $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ để $\frac{π}{2} + π n$ .

$θ = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4.2.9.2

Hợp nhất $2 π n$ và $2 π + 2 π n$ để $2 π n$ .

$θ = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)) (\sqrt{\cos (θ)} - \cos (θ)) = 0$ đúng.

$θ = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$