Đại số Ví dụ

$f (x) = - x^{5} + 52 x^{3} + 2 x^{2} - 147 x - 98$

Bước 1

Nhóm các số hạng lại lần nữa.

$f (x) = 2 x^{2} - 98 - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Bước 2

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{2} - 98$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{2}$ .

$f (x) = 2 (x^{2}) - 98 - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Bước 2.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 98$ .

$f (x) = 2 x^{2} + 2 \cdot - 49 - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Bước 2.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{2} + 2 \cdot - 49$ .

$f (x) = 2 (x^{2} - 49) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Bước 3

Viết lại $49$ ở dạng $7^{2}$ .

$f (x) = 2 (x^{2} - 7^{2}) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Bước 4

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 7$ .

$f (x) = 2 ((x + 7) (x - 7)) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Bước 4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Bước 5

Đưa $x$ ra ngoài $- x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa $x$ ra ngoài $- x^{5}$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4}) + 52 x^{3} - 147 x$

Bước 5.2

Đưa $x$ ra ngoài $52 x^{3}$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4}) + x (52 x^{2}) - 147 x$

Bước 5.3

Đưa $x$ ra ngoài $- 147 x$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4}) + x (52 x^{2}) + x \cdot - 147$

Bước 5.4

Đưa $x$ ra ngoài $x (- x^{4}) + x (52 x^{2})$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4} + 52 x^{2}) + x \cdot - 147$

Bước 5.5

Đưa $x$ ra ngoài $x (- x^{4} + 52 x^{2}) + x \cdot - 147$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4} + 52 x^{2} - 147)$

Bước 6

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- {(x^{2})}^{2} + 52 x^{2} - 147)$

Bước 7

Giả sử $u = x^{2}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x^{2}$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + 52 u - 147)$

Bước 8

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = - 1 \cdot - 147 = 147$ và có tổng là $b = 52$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Đưa $52$ ra ngoài $52 u$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + 52 (u) - 147)$

Bước 8.1.2

Viết lại $52$ ở dạng $3$ cộng $49$

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + (3 + 49) u - 147)$

Bước 8.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + 3 u + 49 u - 147)$

Bước 8.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x ((- u^{2} + 3 u) + 49 u - 147)$

Bước 8.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (u (- u + 3) - 49 (- u + 3))$

Bước 8.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- u + 3$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x ((- u + 3) (u - 49))$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) (x^{2} - 49))$

Bước 10

Viết lại $49$ ở dạng $7^{2}$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) (x^{2} - 7^{2}))$

Bước 11

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) ((x + 7) (x - 7)))$

Bước 11.1.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7))$

Bước 11.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$

Bước 12

Đưa $(x + 7) (x - 7)$ ra ngoài $2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Đưa $(x + 7) (x - 7)$ ra ngoài $2 (x + 7) (x - 7)$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2) + x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$

Bước 12.2

Đưa $(x + 7) (x - 7)$ ra ngoài $x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2) + (x + 7) (x - 7) (x (- x^{2} + 3))$

Bước 12.3

Đưa $(x + 7) (x - 7)$ ra ngoài $(x + 7) (x - 7) (2) + (x + 7) (x - 7) (x (- x^{2} + 3))$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2 + x (- x^{2} + 3))$

Bước 13

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2 + x (- x^{2}) + x \cdot 3)$

Bước 14

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2 - x \cdot x^{2} + x \cdot 3)$

Bước 15

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2 - x \cdot x^{2} + 3 \cdot x)$

Bước 16

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2 - (x^{2} x) + 3 \cdot x)$

Bước 16.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2 - (x^{2} x) + 3 \cdot x)$

Bước 16.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2 - x^{2 + 1} + 3 \cdot x)$

Bước 16.3

Cộng $2$ và $1$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2 - x^{3} + 3 \cdot x)$

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2 - x^{3} + 3 x)$

Bước 17

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (- x^{3} + 3 x + 2)$

Bước 18

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Viết lại $- x^{3} + 3 x + 2$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.1

Phân tích $- x^{3} + 3 x + 2$ thành thừa số bằng phương pháp kiểm tra nghiệm hữu tỉ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.1.1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Bước 18.1.1.2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 2$

Bước 18.1.1.3

Thay $- 1$ và rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $- 1$ là một nghiệm của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.1.3.1

Thay $- 1$ vào đa thức.

$- {(- 1)}^{3} + 3 \cdot - 1 + 2$

Bước 18.1.1.3.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$- - 1 + 3 \cdot - 1 + 2$

Bước 18.1.1.3.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 + 3 \cdot - 1 + 2$

Bước 18.1.1.3.4

Nhân $3$ với $- 1$ .

$1 - 3 + 2$

Bước 18.1.1.3.5

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$- 2 + 2$

Bước 18.1.1.3.6

Cộng $- 2$ và $2$ .

$0$

Bước 18.1.1.4

Vì $- 1$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x + 1$ để tìm thương đa thức. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{- x^{3} + 3 x + 2}{x + 1}$

Bước 18.1.1.5

Chia $- x^{3} + 3 x + 2$ cho $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.1.5.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Bước 18.1.1.5.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$

Bước 18.1.1.5.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Bước 18.1.1.5.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- x^{3} - x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Bước 18.1.1.5.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Bước 18.1.1.5.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Bước 18.1.1.5.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Bước 18.1.1.5.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Bước 18.1.1.5.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{2} + x$

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Bước 18.1.1.5.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$

Bước 18.1.1.5.11

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$

Bước 18.1.1.5.12

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $2 x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$

Bước 18.1.1.5.13

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Bước 18.1.1.5.14

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $2 x + 2$

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Bước 18.1.1.5.15

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

Bước 18.1.1.5.16

Vì số dư là $0$ , nên câu trả lời cuối cùng là thương.

$- x^{2} + x + 2$

Bước 18.1.1.6

Viết $- x^{3} + 3 x + 2$ ở dạng một tập hợp các thừa số.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} + x + 2))$

Bước 18.1.2

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.2.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.2.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = - 1 \cdot 2 = - 2$ và có tổng là $b = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.2.1.1.1

Nhân với $1$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} + 1 x + 2))$

Bước 18.1.2.1.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $- 1$ cộng $2$

$f (x) = (x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} + (- 1 + 2) x + 2))$

Bước 18.1.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} - 1 x + 2 x + 2))$

Bước 18.1.2.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.2.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) ((x + 1) ((- x^{2} - 1 x) + 2 x + 2))$

Bước 18.1.2.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) ((x + 1) (x (- x - 1) - 2 (- x - 1)))$

Bước 18.1.2.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- x - 1$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) ((x + 1) ((- x - 1) (x - 2)))$

Bước 18.1.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x - 1) (x - 2))$

Bước 18.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (x + 1) (- x - 1) (x - 2)$

Bước 19

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $x$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (- 1 (- x) + 1) (- x - 1) (x - 2)$

Bước 19.2

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (- 1 (- x) - 1 \cdot - 1) (- x - 1) (x - 2)$

Bước 19.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (- x) - 1 (- 1)$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (- 1 (- x - 1)) (- x - 1) (x - 2)$

Bước 19.4

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) \cdot (- 1 (- x - 1) (- x - 1) (x - 2))$

Bước 19.5

Nâng $- x - 1$ lên lũy thừa $1$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) \cdot (- 1 ((- x - 1) (- x - 1)) (x - 2))$

Bước 19.6

Nâng $- x - 1$ lên lũy thừa $1$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) \cdot (- 1 ((- x - 1) (- x - 1)) (x - 2))$

Bước 19.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) \cdot (- 1 {(- x - 1)}^{1 + 1} (x - 2))$

Bước 19.8

Cộng $1$ và $1$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) \cdot (- 1 {(- x - 1)}^{2} (x - 2))$