Đại số Ví dụ

$\frac{1}{2} + \frac{12}{x^{2}} > \frac{5}{x}$

Bước 1

Nhân cả hai vế với $x$ .

$(\frac{1}{2} + \frac{12}{x^{2}}) x = \frac{5}{x} x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn $(\frac{1}{2} + \frac{12}{x^{2}}) x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} x + \frac{12}{x^{2}} x = \frac{5}{x} x$

Bước 2.1.1.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x^{2}} x = \frac{5}{x} x$

Bước 2.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x \cdot x} x = \frac{5}{x} x$

Bước 2.1.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x \cdot x} x = \frac{5}{x} x$

Bước 2.1.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = \frac{5}{x} x$

Bước 2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = \frac{5}{x} x$

Bước 2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = 5$

Bước 3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$2, x, 1$

Bước 3.1.2

Vì $2, x, 1$ chứa cả số và biến nên cần thực hiện hai bước để tìm BCNN. Tìm BCNN cho phần số $2, 1, 1$ sau đó tìm BCNN cho phần biến $x^{1}$ .

Bước 3.1.3

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

1. Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

2. Nhân mỗi thừa số với số lần xuất hiện nhiều nhất của nó ở một trong các số.

Bước 3.1.4

Vì $2$ không có thừa số nào ngoài $1$ và $2$ .

$2$ là một số nguyên tố

Bước 3.1.5

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 3.1.6

BCNN của $2, 1, 1$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số.

$2$

Bước 3.1.7

Thừa số cho $x^{1}$ là chính nó $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ xảy ra $1$ lần.

Bước 3.1.8

BCNN của $x^{1}$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$x$

Bước 3.1.9

BCNN cho $2, x, 1$ là phần số $2$ nhân với phần biến.

$2 x$

Bước 3.2

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = 5$ với $2 x$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = 5$ với $2 x$ .

$\frac{x}{2} (2 x) + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 \frac{x}{2} x + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Bước 3.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{x}{2} x + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Bước 3.2.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x \cdot x + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Bước 3.2.2.1.3

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Bước 3.2.2.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$x^{2} + 2 \frac{12}{x} x = 5 (2 x)$

Bước 3.2.2.1.5

Nhân $2 \frac{12}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.5.1

Kết hợp $2$ và $\frac{12}{x}$ .

$x^{2} + \frac{2 \cdot 12}{x} x = 5 (2 x)$

Bước 3.2.2.1.5.2

Nhân $2$ với $12$ .

$x^{2} + \frac{24}{x} x = 5 (2 x)$

Bước 3.2.2.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} + \frac{24}{x} x = 5 (2 x)$

Bước 3.2.2.1.6.2

Viết lại biểu thức.

$x^{2} + 24 = 5 (2 x)$

Bước 3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Nhân $2$ với $5$ .

$x^{2} + 24 = 10 x$

Bước 3.3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Trừ $10 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} + 24 - 10 x = 0$

Bước 3.3.2

Phân tích $x^{2} + 24 - 10 x$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $24$ và tổng của chúng là $- 10$ .

$- 6, - 4$

Bước 3.3.2.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(x - 6) (x - 4) = 0$

Bước 3.3.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 4 = 0$

Bước 3.3.4

Đặt $x - 6$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Đặt $x - 6$ bằng với $0$ .

$x - 6 = 0$

Bước 3.3.4.2

Cộng $6$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 6$

Bước 3.3.5

Đặt $x - 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1

Đặt $x - 4$ bằng với $0$ .

$x - 4 = 0$

Bước 3.3.5.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 4$

Bước 3.3.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x - 6) (x - 4) = 0$ đúng.

$x = 6, 4$

Bước 4

Tìm tập xác định của $\frac{1}{2} + \frac{12}{x^{2}} - \frac{5}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt mẫu số trong $\frac{12}{x^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{2} = 0$

Bước 4.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 4.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 4.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 4.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 4.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 5

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$4 < x < 6$

$x > 6$

Bước 6

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 2$

Bước 6.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{1}{2} + \frac{12}{{(- 2)}^{2}} > \frac{5}{- 2}$

Bước 6.1.3

Vế trái $3.5$ lớn hơn vế phải $- 2.5$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 6.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < x < 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < x < 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 2$

Bước 6.2.2

Thay thế $x$ bằng $2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{1}{2} + \frac{12}{{(2)}^{2}} > \frac{5}{2}$

Bước 6.2.3

Vế trái $3.5$ lớn hơn vế phải $2.5$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 6.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $4 < x < 6$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $4 < x < 6$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 5$

Bước 6.3.2

Thay thế $x$ bằng $5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{1}{2} + \frac{12}{{(5)}^{2}} > \frac{5}{5}$

Bước 6.3.3

Vế trái $0.98$ không lớn hơn vế phải $1$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 6.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 6$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 6$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 8$

Bước 6.4.2

Thay thế $x$ bằng $8$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{1}{2} + \frac{12}{{(8)}^{2}} > \frac{5}{8}$

Bước 6.4.3

Vế trái $0.6875$ lớn hơn vế phải $0.625$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 6.5

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < 0$ Đúng

$0 < x < 4$ Đúng

$4 < x < 6$ Sai

$x > 6$ Đúng

$x < 0$ Đúng

$0 < x < 4$ Đúng

$4 < x < 6$ Sai

$x > 6$ Đúng

Bước 7

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x < 0$ hoặc $0 < x < 4$ hoặc $x > 6$

Bước 8

Quy đổi bất đẳng thức sang ký hiệu khoảng.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (6, \infty)$

Bước 9