Đại số Ví dụ

$x (2 x - 3) < 5 x < 3 x (x + 7)$

Bước 1

Giải $x (2 x - 3) < 5 x$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn $x (2 x - 3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Viết lại.

$0 + 0 + x (2 x - 3) < 5 x$

Bước 1.1.2

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (2 x) + x \cdot - 3 < 5 x$

Bước 1.1.2.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 x \cdot x + x \cdot - 3 < 5 x$

Bước 1.1.2.2.2

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $x$ .

$2 x \cdot x - 3 \cdot x < 5 x$

Bước 1.1.3

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Di chuyển $x$ .

$2 (x \cdot x) - 3 \cdot x < 5 x$

Bước 1.1.3.2

Nhân $x$ với $x$ .

$2 x^{2} - 3 \cdot x < 5 x$

$2 x^{2} - 3 x < 5 x$

Bước 1.2

Chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Trừ $5 x$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$2 x^{2} - 3 x - 5 x < 0$

Bước 1.2.2

Trừ $5 x$ khỏi $- 3 x$ .

$2 x^{2} - 8 x < 0$

Bước 1.3

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$2 x^{2} - 8 x = 0$

Bước 1.4

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x^{2} - 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x^{2}$ .

$2 x (x) - 8 x = 0$

Bước 1.4.2

Đưa $2 x$ ra ngoài $- 8 x$ .

$2 x (x) + 2 x (- 4) = 0$

Bước 1.4.3

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x (x) + 2 x (- 4)$ .

$2 x (x - 4) = 0$

Bước 1.5

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Bước 1.6

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 1.7

Đặt $x - 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Đặt $x - 4$ bằng với $0$ .

$x - 4 = 0$

Bước 1.7.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 4$

Bước 1.8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $2 x (x - 4) = 0$ đúng.

$x = 0, 4$

Bước 1.9

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Bước 1.10

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 2$

Bước 1.10.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$(- 2) (2 (- 2) - 3) < 5 (- 2)$

Bước 1.10.1.3

Vế trái $14$ không nhỏ hơn vế phải $- 10$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 1.10.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < x < 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < x < 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 2$

Bước 1.10.2.2

Thay thế $x$ bằng $2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$(2) (2 (2) - 3) < 5 (2)$

Bước 1.10.2.3

Vế trái $2$ nhỏ hơn vế phải $10$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 1.10.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 6$

Bước 1.10.3.2

Thay thế $x$ bằng $6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$(6) (2 (6) - 3) < 5 (6)$

Bước 1.10.3.3

Vế trái $54$ không nhỏ hơn vế phải $30$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 1.10.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < 0$ Sai

$0 < x < 4$ Đúng

$x > 4$ Sai

$x < 0$ Sai

$0 < x < 4$ Đúng

$x > 4$ Sai

Bước 1.11

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$0 < x < 4$

Bước 2

Giải $5 x < 3 x (x + 7)$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại để $x$ nằm ở vế trái của bất đẳng thức.

$3 x (x + 7) > 5 x$

Bước 2.2

Rút gọn $3 x (x + 7)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại.

$0 + 0 + 3 x (x + 7) > 5 x$

Bước 2.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$3 x (x + 7) > 5 x$

Bước 2.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot 7 > 5 x$

Bước 2.2.4

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Di chuyển $x$ .

$3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 7 > 5 x$

Bước 2.2.4.2

Nhân $x$ với $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 7 > 5 x$

Bước 2.2.5

Nhân $7$ với $3$ .

$3 x^{2} + 21 x > 5 x$

Bước 2.3

Chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Trừ $5 x$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$3 x^{2} + 21 x - 5 x > 0$

Bước 2.3.2

Trừ $5 x$ khỏi $21 x$ .

$3 x^{2} + 16 x > 0$

Bước 2.4

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$3 x^{2} + 16 x = 0$

Bước 2.5

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{2} + 16 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$x (3 x) + 16 x = 0$

Bước 2.5.2

Đưa $x$ ra ngoài $16 x$ .

$x (3 x) + x \cdot 16 = 0$

Bước 2.5.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (3 x) + x \cdot 16$ .

$x (3 x + 16) = 0$

Bước 2.6

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$3 x + 16 = 0$

Bước 2.7

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 2.8

Đặt $3 x + 16$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Đặt $3 x + 16$ bằng với $0$ .

$3 x + 16 = 0$

Bước 2.8.2

Giải $3 x + 16 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1

Trừ $16$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 x = - 16$

Bước 2.8.2.2

Chia mỗi số hạng trong $3 x = - 16$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = - 16$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 16}{3}$

Bước 2.8.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 16}{3}$

Bước 2.8.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 16}{3}$

Bước 2.8.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{16}{3}$

Bước 2.9

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x (3 x + 16) = 0$ đúng.

$x = 0, - \frac{16}{3}$

Bước 2.10

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - \frac{16}{3}$

$- \frac{16}{3} < x < 0$

$x > 0$

Bước 2.11

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - \frac{16}{3}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - \frac{16}{3}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 8$

Bước 2.11.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 8$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$5 (- 8) < 3 (- 8) ((- 8) + 7)$

Bước 2.11.1.3

Vế trái $- 40$ nhỏ hơn vế phải $24$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 2.11.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- \frac{16}{3} < x < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- \frac{16}{3} < x < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 3$

Bước 2.11.2.2

Thay thế $x$ bằng $- 3$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$5 (- 3) < 3 (- 3) ((- 3) + 7)$

Bước 2.11.2.3

Vế trái $- 15$ không nhỏ hơn vế phải $- 36$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 2.11.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 2$

Bước 2.11.3.2

Thay thế $x$ bằng $2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$5 (2) < 3 (2) ((2) + 7)$

Bước 2.11.3.3

Vế trái $10$ nhỏ hơn vế phải $54$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 2.11.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - \frac{16}{3}$ Đúng

$- \frac{16}{3} < x < 0$ Sai

$x > 0$ Đúng

$x < - \frac{16}{3}$ Đúng

$- \frac{16}{3} < x < 0$ Sai

$x > 0$ Đúng

Bước 2.12

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x < - \frac{16}{3}$ hoặc $x > 0$

Bước 3

Tìm phần giao của $0 < x < 4$ và $x < - \frac{16}{3} or x > 0$ .

$0 < x < 4$

Bước 4

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng bất đẳng thức:

$0 < x < 4$

Ký hiệu khoảng:

$(0, 4)$

Bước 5